【題目】(問題情境)如圖①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

1)(問題解決)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)ⅰ?/span>ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB、AC2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷出中線AD的取值范圍是   

(反思感悟)解題時(shí),條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)、中線字樣,可以考慮構(gòu)造以該中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同個(gè)三角形中,從而解決問題.

2)(嘗試應(yīng)用)如圖②,△ABC中,∠BAC=90°ADBC邊上的中線,試猜想線段ABAC,AD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

3)(拓展延伸)如圖③,△ABC中,∠BAC=90°,DBC的中點(diǎn),DMDN,DMAB于點(diǎn)M,DNAC于點(diǎn)N,連接MN.當(dāng)BM=4,MN=5,AC=6時(shí),請(qǐng)直接寫出中線AD的長(zhǎng).

【答案】12AD8;(2AB2AC24AD2,理由見解析;(3AD5

【解析】

1)延長(zhǎng)ADE,使DEAD,由SAS證明BDE≌△CDA,得出BEAC8,在ABE中,由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍,即可得出AD的取值范圍;

2)延長(zhǎng)ADE,使DEAD,連接BE,如圖②所示,由(1)可知BDE≌△CDA,然后只要證明∠ABE90°,利用勾股定理即可得出結(jié)論;

3)延長(zhǎng)NDE,使得DNDE,連接BE、EM,首先證明BDE≌△CDN,求出∠ABD+∠DBE90°,然后利用勾股定理可得BE3,進(jìn)而得到ANNC,利用三線合一證明DNAC,同理可得DMAB,然后證明四邊形AMDN是矩形即可解決問題.

解:(1)延長(zhǎng)ADE,使DEAD,連接BE,如圖①所示,

ADBC邊上的中線,

BDCD,

BDECDA中,,

∴△BDE≌△CDASAS),

BEAC6,

ABE中,由三角形的三邊關(guān)系得:ABBEAEABBE,

106AE106,即4AE16,

2AD8

2AB2AC24AD2,

理由:延長(zhǎng)ADE,使DEAD,連接BE,如圖②所示,

由(1)可知:BDE≌△CDA,

BEAC,∠E=∠CAD

∵∠BAC90°,

∴∠E+∠BAE=∠BAE+∠CAD=∠BAC90°,

∴∠ABE90°,

AB2BE2AE2,

AB2AC24AD2;

3)如圖③,延長(zhǎng)NDE,使得DNDE,連接BE、EM

BDDC,∠BDE=∠CDN,DEDN,

∴△BDE≌△CDN,

BECM,∠EBD=∠C,

∵∠ABC+∠C90°

∴∠ABD+∠DBE90°

MDEN,DEDN,

MEMN5

RtBEM中,BE3

CNBE3,

AC6,

ANNC,

∵∠BAC90°BDDC,

ADDCBD

DNAC,

RtAMN中,AM4

AMBM,

DA=DB,

DMAB

∴∠AMD=∠AND=∠MAN90°,

∴四邊形AMDN是矩形,

ADMN5

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,設(shè)一個(gè)三角形的三邊分別是313m,8.

(1)m的取值范圍;

(2)是否存在整數(shù)m使三角形的周長(zhǎng)為偶數(shù)?若存在,求出三角形的周長(zhǎng);若不存在,說明理由;

(3)如圖,(2)的條件下,當(dāng)AB=8,AC=13m,BC=3時(shí),DAB的中點(diǎn),CD,PCD上動(dòng)點(diǎn)(不與C,D重合,當(dāng)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),有兩個(gè)式子): ;,其中有一個(gè)的值不變,另一個(gè)的值改變。問題:

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下面是小明的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:

(1)函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是_____

(2)下表列出了yx的幾組對(duì)應(yīng)值,請(qǐng)寫出m,n的值:m=_____,n=_____;

x

﹣3

﹣2

﹣1

1

2

3

4

y

﹣2

m

2

n

(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),根據(jù)描出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;

(4)結(jié)合函數(shù)的圖象,請(qǐng)完成:

①當(dāng)y=﹣時(shí),x=_____

②寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)_____

③若方程x+=t有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則t的取值范圍是_____

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1)當(dāng)PDBC時(shí),求∠PDA的度數(shù);

2)如圖②,若ECD的中點(diǎn),求DEP周長(zhǎng)的最小值;

3)如圖③,當(dāng)DP平分∠ADC時(shí),在ABC內(nèi)存在一點(diǎn)Q,使得∠DQC=∠DPC,且CQ,求PQ的長(zhǎng).

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1)填表:(不需化簡(jiǎn))

2)如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元,那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元?

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