Question

9．已知拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+4上有不同的兩點E（6，-k²+1）和F（-4，-k²+1）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+4與x軸的正半軸和y軸分別交于點A和點B，M為AB的中點，∠PMQ=45°，MP交y 軸于點C，MQ交x軸于點D．∠PMQ在AB的左側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)m、n為何值時，∠PMQ的邊過點F．

Answer 1

分析 （1）由點E與點F的縱坐標(biāo)相同可知拋物線的對稱軸為x=1，由拋物線的對稱軸方程可求得b=1；
（2）令x=0可求得y=4，令y=0可求得x=-2或x=4，從得到點A（4，0）、B（0，4），M（2，2），然后證明∠B=∠A=45°，∠BCM=∠AMD，從而可證明△BCM∽△AMD，由相似三角形的性質(zhì)可知：$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{n}=\frac{m}{2\sqrt{2}}$，故此可得到n與m的函數(shù)關(guān)系式為n=$\frac{8}{m}$；
（3）將x=-4代入拋物線的解析式可求得點F的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得MF的解析式，當(dāng)MQ過點F時，可求得點D的坐標(biāo)，故此可求得m的值，然后由n=$\frac{8}{m}$可求得n的值，當(dāng)PM過點F時，可求得點C的坐標(biāo)，從而求得n的值，然后由n=$\frac{8}{m}$可求得m的值．

解答 解：（1）∵點E與點F的縱坐標(biāo)相同，
∴拋物線的對稱軸方程為x=1．
∵x=-$\frac{2a}$，
∴-$\frac{2×（-\frac{1}{2}）}$=1．
解得：b=1．
∴拋物線的解析式為y=$-\frac{1}{2}$x²+x+4．
∵將x=0代入得：y=4，
∴點B的坐標(biāo)為（0，4）．
∵令y=0得：$-\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
∴x₁=-2，x₂=4．
∴點A（4，0）．
∵M(jìn)是AB的中點，
∴點M的坐標(biāo)為（2，2）．
∵OA=OB，∠BOA=90°，
∴∠B=∠A=45°．
∴∠BCM+∠BMC=135°，MB=AB=$\frac{1}{2}AB$=2$\sqrt{2}$．
∵∠PMQ=45°，
∴∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
∴△BCM∽△AMD．
∴$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BM}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{n}=\frac{m}{2\sqrt{2}}$．
∴n=$\frac{8}{m}$．
（3）將x=-4代入拋物線的解析式得：y=-8．
∴點F的坐標(biāo)為（-4，-8）．
設(shè)直線MF的解析式為y=kx+b．
將點M和點F的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{-4k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{5}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$．
∴直線MF的解析式為y=$\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$．
①當(dāng)MQ經(jīng)過點F時，直線MQ的解析式為y=$\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$．
將y=0代入得：$\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$=0．
解得：x=$\frac{4}{5}$．
∴點D的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$，0）．
∴m=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$．
∴n=$\frac{8}{m}$=8×$\frac{5}{16}$=$\frac{5}{2}$．
②當(dāng)MP經(jīng)過點F時，直線PM的解析式為y=$\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$．
∵將x=0代入得：y=-$\frac{4}{3}$．
∴n=BC=4-（-$\frac{4}{3}$）=4+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{3}$．
∴m=$\frac{8}{n}$=8×$\frac{3}{16}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定，證得△BCM∽△AMD是解題的關(guān)鍵．