Question

如果記f(x)=

x2

1+x2

，即x=1時，f(1)=

12

1+12

=

1

2

；x=

1

2

時，f(

1

2

)=

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

1

5

，那么f(1)+f(2)+f(

1

2

)+f(3)+f(

1

3

)+…+f(n)+f(

1

n

)=

n-

1

2

（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：把x換為

1

x

，化簡可表示出f（

1

x

），發(fā)現(xiàn)f（x）與f（

1

x

）的和為定值1，故把所求的式子除去第一項f（1），然后由x的值互為倒數(shù)的兩項結合，利用得出的規(guī)律和為1化簡，得到n-1個1相加，把f（1）的值代入即可表示出所求式子的結果．

解答：解：∵f（x）=

x2

1+x2

，f（

1

x

）=

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

1

1+x2

，
∴f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1，又f（1）=

1

2

，
則f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+…+f（n）+f（

1

n

）
=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（n）+f（

1

n

）]
=

1

2

+1+1+…+1（n-1個1相加）
=

1

2

+n-1
=n-

1

2

．
故答案為：n-

1

2

點評：此題考查了分式的化簡求值，分式的化簡求值加減運算的關鍵是通分，通分的關鍵是找出各分母的最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，同時注意要先化簡，再代值．找出規(guī)律f（x）+f（

1

x

）=1是解本題的關鍵．