Question

某公園在一個(gè)扇形OEF草坪上的圓心O處垂直于草坪的地上豎一根柱子OA，在A處安裝一個(gè)自動(dòng)噴水裝置．噴頭向外噴水．連噴頭在內(nèi)，柱高

10

9

m，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，噴出的水流在與D點(diǎn)的水平距離4米處達(dá)到最高點(diǎn)B，點(diǎn)B距離地面2米．當(dāng)噴頭A旋轉(zhuǎn)120°時(shí)，這個(gè)草坪可以全被水覆蓋．如圖1所示．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使A點(diǎn)的坐標(biāo)為（O，

10

9

），水流的最高點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），求出此坐標(biāo)系中拋物線水流對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求噴水裝置能噴灌的草坪的面積（結(jié)果用π表示）；
（3）在扇形OEF的一塊三角形區(qū)域地塊△OEF中，現(xiàn)要建造一個(gè)矩形GHMN花壇，如圖2的設(shè)計(jì)方案是使H、G分別在OF、OE上，MN在EF上．設(shè)MN=2x，當(dāng)x取何值時(shí)，矩形GHMN花壇的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用y=0時(shí)求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出扇形的半徑，即可得出S的值；
（3）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出MH的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)最值公式求出即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得出：圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2），
故設(shè)解析式為：y=a（x-4）²+2，
將（O，

10

9

），代入上式得：

10

9

=a（0-4）²+2，
解得：a=-

1

18

，
∴拋物線水流對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

18

（x-4）²+2；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，
0=-

1

18

（x-4）²+2，
解得：x₁=10，x₂=-2（舍去），
∴扇形半徑為10米，
∴S=

120π×102

360

=

100π

3

（平方米）；

（3）過(guò)點(diǎn)O作OA⊥EF于點(diǎn)A，交GH于點(diǎn)B，
∵∠EOF=120°，EO=FO=10，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴AO=

1

2

FO=5，
設(shè)MN=2x，
∴AM=BH=x，
∴BO=

3

3

x，
∴MH=5-

3

3

x，
由題意得出：
S=2x（5-

3

3

x）=-

2 3

3

x²-10x，
當(dāng)x=-

b

2a

=

5

2

3

時(shí)，
S的值最大為：S=

25

2

3

（平方米）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及扇形面積公式和銳角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．