Question

如果x₁，x₂是方程x²-ax+a+3=0（a為實(shí)數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x12+x22的最小值為（　�。�

A．18

B．0

C．-7

D．2

Answer 1

分析：x₁，x₂是方程x²-ax+a+3=0（a為實(shí)數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△≥0，由此不難求出參數(shù)a的范圍；由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，又知x12+x22=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6的形式，再利用韋達(dá)定理（即一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，進(jìn)面求出x12+x22的最小值．

解答：解：∵關(guān)于x的方程x²-ax+a+3=0（a為實(shí)數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=（-a）²-4（a+3）≥0，即（a+2）（a-6）≥0，
解得，a≥6，或a≤-2；
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：
x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，
又知x12+x22=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6=（a-1）²-7≥0；
當(dāng)a≥6時(shí)，a-1≥5，
∴（a-1）²≥25，
∴（a-1）²-7≥18，
此時(shí)，x12+x22的最小值為18；
當(dāng)a≤-2時(shí)，
∴a-1≤-3，
∴（a-1）²≥9，
∴（a-1）²-7≥2，
此時(shí)，x12+x22的最小值為2；
綜上所述，x12+x22取最小值是2．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及利用配方法確定式子的最值．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．