Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使|MC-MB|最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程得到b的值，即可得解；
（2）分別求出圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，進(jìn)而得出三角形各邊長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理逆定理求出即可；
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知MA=MB，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點(diǎn)M為直線CA與對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，|MC-MB|最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²+bx-2過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2
解得：b=-

3

2

∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；
y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x²-3x）-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）當(dāng)y=0，則0=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得：x₁=-1，x₂=4，
故A（-1，0），B（4，0），
當(dāng)x=0，則y=-2，
故C（0，-2），
可得AO=1，CO=2，BO=4，
故AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
則AC²+BC²=AB²，
故△ABC是直角三角形；

（3）如圖所示：由拋物線的對(duì)稱性，對(duì)稱軸垂直平分AB，
則MA=MB，
由三角形的三邊關(guān)系，|MC-MB|＜AC，
故當(dāng)M、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，|MC-MB|最大，為AC的長(zhǎng)度，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 b=-2

，
解得：

k=-2 b=-2

，
故直線AC的解析式為y=-2x-2，
∵拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y=-2×

3

2

-2=-5，
∴點(diǎn)M（

3

2

，-5），
即，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M（

3

2

，-5），使|MC-MB|最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題型，利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對(duì)稱性以及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵．