Question

如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)A恰好落在開口向下的拋物線y=ax²上．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）將正方形繼續(xù)旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，可以使點(diǎn)A再次落在此拋物線上？

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專題：

分析：（1）設(shè)旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，作A′D⊥x軸于D，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出A′D，再利用勾股定理列式求出OD，從而得到點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)A再次落在拋物線上時(shí)OA與x軸負(fù)半軸的夾角為30°，然后求解即可．

解答：解：（1）如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，作A′D⊥x軸于D，
∵旋轉(zhuǎn)角為30°，
∴∠A′OD=30°，
∴A′D=

1

2

OA′=

1

2

，
由勾股定理得，OD=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴點(diǎn)A′（

3

2

，-

1

2

），
∴a（

3

2

）²=-

1

2

，
解得a=-

2

3

，
∴拋物線解析式為y=-

2

3

x²；

（2）∵拋物線y=-

2

3

x²的對(duì)稱軸為y軸，
∴點(diǎn)A再次落在拋物線上時(shí)OA與x軸負(fù)半軸的夾角為30°，
∵180°-30°×2=120°，
∴正方形繼續(xù)旋轉(zhuǎn)120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，熟記各性質(zhì)并求出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．