Question

6．如圖，E為正方形ABCD中CD邊上一點，∠DAE=30°，P為AE的中點，過點P作直線分別與AD、BC相交于點M、N．若MN=AE，則∠AMN等于60°或120°．

Answer 1

分析 畫出符合的兩種情況，過N作NF⊥AD于F，根據(jù)HL證出Rt△MFN≌Rt△EDA，即可求出答案．

解答 解：分為兩種情況：①如圖1，

過N作NF⊥AD于F，
則∠NFA=∠MFN=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠B=∠D=90°，
∴四邊形AFNB是矩形，
∴NF=AB=AD，
∵∠NFM=∠D=90°，
在Rt△MFN和Rt△EDA中
$\left\{\begin{array}{l}{MN=A}\\{NF=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△MFN≌Rt△EDA（HL），
∴∠AMN=∠AED，
∵∠DAE=30°，∠D=90°，
∴∠AMN=∠AED=180°-30°-90°=60°；
②如圖2，

同法可求Rt△MFN≌Rt△EDA，
所以∠FMN=∠AED=60°，
所以∠AMN=180°-60°=120°．
故答案為：60°或120°

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想．