Question

已知點(diǎn)C、A、D在同一條直線上，∠ABC=∠ADE=α，線段BD、CE交于點(diǎn)M．
（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE．
①問(wèn)線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
②求∠BMC的大�。ㄓ忙帘硎荆�；
（2）如圖2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，則線段BD與CE又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；∠BMC=

90°-

1

2

α

（用α表示）．

Answer 1

分析：（1）①首先根據(jù)已知得出∠BAD=∠CAE，進(jìn)而得出△ABD≌△ACE，求出即可；
②利用△ABD≌△ACE，得出∠BDA=∠CEA，則∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠EAD即可得出答案；
（2）首先得出∠BAC=

180°-α

2

，同理可得出：∠DAE=

180°-α

2

，進(jìn)而得出△ABD∽△ACE，即可得出線段BD與CE的關(guān)系以及∠BMC的度數(shù)．

解答：解：（1）①BD=CE，
理由：∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=α，
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α，
同理可得出：∠BAC=180°-2α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠EAD=180°-2α；

（2）BD=kCE，
理由：∵AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠ABC=∠ADE=α，
∴∠BAC=

180°-α

2

，
同理可得出：∠DAE=

180°-α

2

，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAE+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
∵ABC=kAC，AD=ED=kAE，
∴

AB

AC

=

AD

AE

=k，
∴△ABD∽△ACE，
∴

BD

CE

=

AD

AE

=k，
∴BD=kCE，
∴∠BMC=∠EAD=90°-

1

2

α．
故答案為：90°-

1

2

α．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出∠BMC=∠MCD+∠CEA是解題關(guān)鍵．