Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D為BC上一點，在△ADE中，∠E=∠C，∠1=90°-

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∠EDC．求證：
（1）∠1=∠2；
（2）ED=BC+BD．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，然后求出∠BAD=

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∠EDC，延長DB至F，使BF=BD，可得AB垂直平分DF，根據(jù)AD=AF，根據(jù)等邊對等角求出∠2=∠F，可得∠BAD=

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∠DAF，從而得到∠DAF=∠EDC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠1=∠F，從而得證；
（2）利用“角邊角”證明△AED和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得ED=CF，然后整理即可得證．

解答：證明：（1）由三角形的外角性質(zhì)，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，
∵∠1=90°-

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∠EDC，
∴∠BAD+90°=90°-

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∠EDC，
∴∠BAD=

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2

∠EDC，
延長DB至F，使BF=BD，
則AB垂直平分DF，
∴∠BAD=

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∠DAF，AD=AF，
∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，
在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，
∴∠1=∠F，
∴∠1=∠2；
（2）在△AED和△ACF中，

∠1=∠F ED=CF ∠E=∠C

，
∴△AED≌△ACF（ASA），
∴ED=CF，
∵CF=BC+BF=BC+DB，
∴ED=BC+BD．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．