Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；

（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；

（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

等腰梯形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用．

專題：

壓軸題；開放型．

分析：

（1）先作AK⊥BC于K，F(xiàn)G⊥BC于G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得BK=（BC﹣AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直線故平行，可得比例線段，求出FG=，利用面積公式可得S_△BEF=﹣x²+x（7≤x≤10，因為BF最大取5，故BE最小取7，又不能超過10）；

（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）中面積的表達式，可以得到S_梯形ABCD=﹣x²+x，即14=﹣x²+x，解得，x₁=7，x₂=5（不合題意，舍去）；

（3）仍然按照（1）和（2）的步驟和方法去做就可以了，注意不是分成相等的兩份，而是1：2就可以了，得到關(guān)于x的一元二次方程，先求出根的判別式△，由于△＜0，故不存在實數(shù)根．

解答：

解：（1）由已知條件得：

梯形周長為24，高4，面積為28．

過點F作FG⊥BC于G

∴BK=（BC﹣AD）=×（10﹣4）=3，

∴AK==4，

∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，

∴BF=12﹣x，

過點A作AK⊥BC于K

∴△BFG∽△BAK，

∴，

即：，

則可得：FG=×4

∴S_△BEF=BE•FG=﹣x²+x（7≤x≤10）；（3分）（2）存在（1分）

由（1）得：﹣x²+x=14，

x²﹣12x+35=0，

（x﹣7）（x﹣5）=0，

解得x₁=7，x₂=5（不合題意舍去）

∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE=7；（3）不存在（1分）

假設(shè)存在，第一種情況：顯然是：S_△BEF：S_AFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），

梯形ABCD周長的三分之一為=8，面積的三分之一為．因為BE=X，

所以BF=（8﹣X）

∵FM∥AH，

∴△FBM∽△ABH，

∴BF：AB=FM：AH，

∴=，

∴FM=，

∴△BEF的面積=，

當 _{梯形ABCD的面積}=時，

∴=，

整理方程得：﹣3x²+24x﹣70=0，

△=576﹣840＜0

∴不存在這樣的實數(shù)x．

即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積．

同時分成1：2的兩部分．（2分）

第二種情況：顯然是：S_△BEF：S_AFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1（1分），

梯形ABCD周長的三分之一為=8，面積的三分之一為．因為BE=x，

所以BF=（8﹣x）

∵FM∥AH，

∴△FBM∽△ABH，

∴BF：AB=FM：AH，

∴，

∴FM=，

∴△BEF的面積=，

當 _{梯形ABCD的面積}=時，

∴=，

整理方程得：3x²﹣24x+140=0，

△＜0

∴不存在這樣的實數(shù)x．

即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積．

同時分成1：2的兩部分．

點評：

本題利用了等腰梯形的性質(zhì)、垂直于同一直線的兩直線平行，勾股定理，三角形、梯形面積公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判別式等知識．