Question

（1997•福州）已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，

5

3

），與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＜x₁），且x₁+x₂=4，x₁x₂=-5．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求二次函數的解析式和頂點P的坐標；
（3）若一次函數y=kx+m的圖象過二次函數的頂點P，把△PAB分成兩個部分，其中一個部分的面積不大于△PAB面積的

1

3

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據根與系數的關系得出方程Z²-4Z-5=0的兩根，進而根據x₂＜x₁，求出A，B坐標即可；
（2）根據y=ax²+bx+c過A、B、C三點，利用待定系數法求出解析式即可；
（3）根據A，B坐標，利用△PAB底邊3等分點得出相關直線解析式進而得出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

x1+x2=4 x1•x2=-5

，
∴x₁，x₂是方程Z²-4Z-5=0的兩根
解得：Z₁=5，Z₂=-1
∵x₁＞x₂，∴x₁=5，x₂=-1
∴A、B兩點的坐標是A（5，0），B（-1，0）；

（2）∵y=ax²+bx+c過A、B、C三點
∴

25a+5b+c=0 a-b+c=0 c= 5 3

解得：

a=- 1 3 b= 4 3 c= 5 3

∴二次函數的解析式為：
y=-

1

3

x²+

4

3

x+

5

3

即y=-

1

3

（x-2）²+3，
∴頂點P的坐標為（2，3）；

（3）據圖形特征知，當一次函數圖象過P（2，3）且過（1，0）或（3，0）時，
就把△PAB分成兩部分，其中一部分三角形的面積為△PAB面積的

1

3

，
①設過（3，0），（2，3）的一次函數的解析式為：y=ax+b，
則

3a+b=0 2a+b=3

，
解得：

a=-3 b=9

故一次函數的解析式為：y=-3x+9，
同理可得出：過（5，0）（2，3）的一次函數的解析式為：y=-x+5．
又一次函數y=kx+m，當x=0時，y=m，
∴此一次函數圖象與y軸交點的縱坐標為m．
觀察圖形變化得：5＜m≤9，
②過（-1，0）（2，3）的一次函數的解析式為y=x+1，
過（1，0）（2，3）的一次函數的解析式為y=3x-3．
觀察圖形變化得-3≤m＜1．
∴m的取值范圍是：-3≤m＜1或5＜m≤9．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及三角形面積求法以及待定系數法求二次函數解析式和根與系數關系等知識，利用數形結合得出△PAB面積的

1

3

的分界點是解題關鍵．