Question

如圖：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC且交AC于點(diǎn)D，將△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACF的位置，并延長(zhǎng)BD交AF于點(diǎn)E．
①求證：△BAE∽△ADE；②若ED•BE=8，求BD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：①由∠ACB=90°可得∠DAE+∠F=∠EBF+∠F，可得∠DAE=∠EBF，又由角平分線(xiàn)可知∠ABE=∠EBF，可得∠DAE=∠ABE，且∠AEB=∠AED，可得結(jié)論；
②由①可知BE⊥AF，則有AE=EF，由條件可證明△ADE∽△BFE，可得

DE

AE

=

AE

BE

，可得AE²=DE•BE=8，可求得AE=2

2

，則BD=AF=4

2

．

解答：①證明：∵∠ACB=90°，
∴∠DAE+∠F=∠EBF+∠F=90°，
∴∠DAE=∠EBF，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF，
∴∠DAE=∠ABE，且∠AEB=∠AED，
∴△BAE∽△ADE；
②解：∵∠DBC+∠BDC=90°，且∠DAAE=∠DBC，∠BDC=∠ADE，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴AE=FE，
又∵在△BEF和△AED中，
∠DAE=∠EBF，∠AED=∠BEF，
∴△ADE∽△BFE，
∴

DE

AE

=

AE

BE

，
∴AE²=DE•BE=8，
∴AE=2

2

，
又∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=AF，
∴BD=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，在第②問(wèn)中證明△ADE∽△BFE求得AE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．