Question

（2012•廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AB=3，tan∠AOB=

3

4

，將△OAB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線段OB₁的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA₂B₁，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B、B₁、A₂．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PBB₁的面積最大？求出這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB₁的距離為

2

2

？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)B、B₁、A₂三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）求出△PBB₁的面積表達(dá)式，這是一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出△PBB1面積的最大值；值得注意的是求△PBB₁面積的方法，如圖1所示；
（3）本問引用了（2）問中三角形面積表達(dá)式的結(jié)論，利用此表達(dá)式表示出△QBB₁的面積，然后解一元二次方程求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵AB⊥x軸，AB=3，tan∠AOB=

3

4

，∴OB=4，
∴B（-4，0），B₁（0，-4），A₂（3，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B、B₁、A₂，
∴

16a-4b+c=0 c=-4 9a+3b+c=0

，
解得

a= 1 3 b= 1 3 c=-4

∴拋物線的解析式為：y=

1

3

x²+

1

3

x-4．

（2）點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線y=

1

3

x²+

1

3

x-4上的一點(diǎn)，
如答圖1，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則m＜0，n＜0，n=

1

3

m²+

1

3

m-4．
于是PC=|n|=-n=-

1

3

m²-

1

3

m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
S_△PBB1=S_△PBC+S_梯形PB1OC-S_△OBB1
=

1

2

×BC×PC+

1

2

×（PC+OB₁）×OC-

1

2

×OB×OB₁
=

1

2

×（4+m）×（-

1

3

m²-

1

3

m+4）+

1

2

×[（-

1

3

m²-

1

3

m+4）+4]×（-m）-

1

2

×4×4
=-

2

3

m²-

8

3

m=-

2

3

（m+2）²+

8

3

當(dāng)m=-2時(shí)，△PBB₁的面積最大，這時(shí)，n=-

10

3

，即點(diǎn)P（-2，-

10

3

）．

（3）假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)Q（x₀，y₀），使點(diǎn)Q到線段BB₁的距離為

2

2

．
如答圖2，過點(diǎn)Q作QD⊥BB₁于點(diǎn)D．
由（2）可知，此時(shí)△QBB₁的面積可以表示為：-

2

3

（x₀+2）²+

8

3

，
在Rt△OBB₁中，BB₁=

OB2+OB12

=4

2

∵S_△QBB1=

1

2

×BB₁×QD=

1

2

×4

2

×

2

2

=2，
∴-

2

3

（x₀+2）²+

8

3

=2，
解得x₀=-1或x₀=-3
當(dāng)x₀=-1時(shí)，y₀=-4；當(dāng)x₀=-3時(shí)，y₀=-2，
因此，在第三象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB₁的距離為

2

2

，這樣的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-1，-4）或（-3，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變化、圖形面積求法、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問起承上啟下的作用，是本題的難點(diǎn)與核心，其中的要點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)圖形面積的求解方法，這種方法是壓軸題中常見的一種解題方法，同學(xué)們需要認(rèn)真掌握．