【題目】設(shè)C為線段AB的中點,四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形.以B為圓心,BD長為半徑的⊙B與AB相交于F點,延長EB交⊙B于G點,連接DG交于AB于Q點,連接AD.
求證:(1)AD是⊙B的切線;(2)AD=AQ;(3)BC2=CFEG.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)連接BD,由DC⊥AB,C為AB的中點,由線段垂直平分線的性質(zhì),可得AD=BD,再根據(jù)正方形的性質(zhì),可得∠ADB=90°;
(2)由BD=BG與CD∥BE,利用等邊對等角與平行線的性質(zhì),即可求得∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°,繼而求得∠ADQ=∠AQD=67.5°,由等角對等邊,可證得AD=AQ;
(3)易求得∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE,∠DCF=∠E=90°,即可證得Rt△DCF∽Rt△GED,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可證得結(jié)論.
試題解析:
(1)連接BD,
∵四邊形BCDE是正方形,
∴∠DBA=45°,∠DCB=90°,即DC⊥AB,
∵C為AB的中點,
∴CD是線段AB的垂直平分線,
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠ADB=90°,
即BD⊥AD,
∵BD為半徑,
∴AD是⊙B的切線;
(2)∵BD=BG,
∴∠BDG=∠G,
∵CD∥BE,
∴∠CDG=∠G,
∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°,
∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°,∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°,
∴∠ADQ=∠AQD,
∴AD=AQ;
(3)連接DF,
在△BDF中,BD=BF,
∴∠BFD=∠BDF,
又∵∠DBF=45°,
∴∠BFD=∠BDF=67.5°,
∵∠GDB=22.5°,
在Rt△DEF與Rt△GCD中,
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE,∠DCF=∠E=90°,
∴Rt△DCF∽Rt△GED,
∴,
又∵CD=DE=BC,
∴BC2=CFEG.
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【題目】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去,若用有序數(shù)對(m,n)表示從上到下第m排,從左到右第n個數(shù),如(4,2)表示整數(shù)8.則(62,55)表示的數(shù)是_____.
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【題目】在北海市創(chuàng)建全國文明城活動中,需要30名志愿者擔(dān)任“講文明樹新風(fēng)”公益廣告宣傳工作,其中男生18人,女生12人.
(1)若從這30人中隨機選取一人作為“展板掛圖”講解員,求選到女生的概率;
(2)若“廣告策劃”只在甲、乙兩人中選一人,他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰擔(dān)任,游戲規(guī)則如下:將四張牌面數(shù)字分別為2,3,4,5的撲克牌洗勻后,數(shù)字朝下放于桌面,從中任取2張,若牌面數(shù)字之和為偶數(shù),則甲擔(dān)任,否則乙擔(dān)任.試問這個游戲公平嗎?請用樹狀圖或列表法說明理由.
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【題目】小李對初三(1)班全體同學(xué)的業(yè)余興趣愛好(第一愛好)進(jìn)行了一次調(diào)查,她根據(jù)采集到的數(shù)據(jù),繪制了下面的圖1和圖2.
請你根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)初三(1)班共有學(xué)生________人;
(2)在圖1中,將“書畫”部分的圖形補充完整;
(3)在圖2中,“球類”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)________度;愛好“音樂”的人數(shù)占本班學(xué)生數(shù)的百分?jǐn)?shù)是________;愛好“書畫”的人數(shù)占本班學(xué)生數(shù)的百分?jǐn)?shù)是________;“其它”的人數(shù)占本班學(xué)生數(shù)的百分?jǐn)?shù)是________.
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【題目】小明學(xué)習(xí)了《有理數(shù)》后,對運算非常感興趣,于是定義了一種新運算“△”規(guī)則如下:對于兩個有理數(shù)m , n , m △ n =.
(1)計算:1△(-2)= ;
(2)判斷這種新運算是否具有交換律,并說明理由;
(3)若a =| x-1| , a =| x-2|,求a△ a (用含 x 的式子表示)
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【題目】按要求完成下列視圖問題:
(1)如圖(1),它是由6個同樣大小的正方體擺成的幾何體,將正方體①移走后,新幾何體從三個方向看到的圖形與原幾何體從三個方向看到的圖形相比,從 方向看到的形狀圖沒有發(fā)生改變?
(2)如圖(2),請你在右側(cè)虛線網(wǎng)格圖a中畫出該幾何體從上面看到的形狀圖
(3)如圖(3),它是由幾個小立方塊組成從上面看到的形狀圖,小正方形上的數(shù)字表示該位置上的正方體的個數(shù),請你在右側(cè)建線網(wǎng)格圖b中面出該幾何體從正面看到的形狀圖.
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【題目】在抗洪搶險中,人民解放軍的沖鋒舟沿東西方向的河流搶救災(zāi)民,早晨從地出發(fā),晚上最后到達(dá)地,約定向東為正方向,當(dāng)天航行依次記錄如下(單位:千米),,,,,,,,問:
(1)地在地的東面,還是西面?與地相距多少千米?
(2)這一天沖鋒舟離最遠(yuǎn)多少千米?
(3)若沖鋒舟每千米耗油升,郵箱容量為升,求途中至少需要補充多少升油?
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【題目】如圖,在菱形中,,點為邊上一點,連接交對角線于點.
(1)如圖1,已知于,菱形的邊長為6,求線段的長度;
(2)如圖2,已知點為邊上一點,連接交線段于點,且滿足,,求證:.
圖1 圖2
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【題目】閱讀:能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a,b,c,稱為勾股數(shù).世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》,其勾股數(shù)組公式為: 其中m>n>0,m,n是互質(zhì)的奇數(shù).
應(yīng)用:當(dāng)n=1時,求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長.
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