Question

（2010•福州）如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．
（1）求證：；
（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；
（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證得△AEF∽△ABC，而AH、AD是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高，EF、BC是對(duì)應(yīng)邊，它們的比都等于相似比，由此得證；
（2）此題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解；由（1）的結(jié)論可求出AH的表達(dá)式，進(jìn)而可得到HD（即FP）的表達(dá)式；已求得了矩形的長和寬，即可根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形EFPQ的面積和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對(duì)應(yīng)的x的值；
（3）此題要理清幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，由（2）可知此時(shí)EF=5，EQ=4；易證得△CPF是等腰Rt△，則PC=PF=4，QC=QP+PC=9；
一、P、C重合時(shí)，矩形移動(dòng)的距離為PC（即4），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4s；
二、E在線段AC上時(shí)，矩形移動(dòng)的距離為9-4=5，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5s；
三、Q、C重合時(shí)，矩形運(yùn)動(dòng)的距離為QC（即9），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為9s；
所以本題要分三種情況討論：
①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，重合部分的面積是矩形EFPQ與等腰Rt△FMN（設(shè)AC與FE、FP的交點(diǎn)為M、N）的面積差，F(xiàn)M的長即為梯形移動(dòng)的距離，由此可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)4≤t＜5時(shí)，重合部分是個(gè)梯形，可用t表示出梯形的上下底，進(jìn)而由梯形的面積公式求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；
③當(dāng)5≤t≤9時(shí)，重合部分是個(gè)等腰直角三角形，其直角邊的長易求得，即可得出此時(shí)S、t的函數(shù)關(guān)系式．
解答：（1）證明：∵四邊形EFPQ是矩形，∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴=；

（2）解：由（1）得=，∴AH=x
∴EQ=HD=AD-AH=8-x
∴S_矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-x）=-x²+8x=-（x-5）²+20
∵-＜0，
∴當(dāng)x=5時(shí)，S_矩形EFPQ有最大值，最大值為20；

（3）解：如圖1，由（2）得EF=5，EQ=4
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9
分三種情況討論：
①如圖2，當(dāng)0≤t＜4時(shí)，
設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M、N，
則△MFN是等腰直角三角形；
∴FN=MF=t
∴S=S_矩形EFPQ-S_Rt△MFN=20-t²=-t²+20

②如圖3
當(dāng)4≤t＜5時(shí)，則ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S_梯形EMCQ=[（5-t）+（9-t）]×4=-4t+28

③如圖4
當(dāng)5≤t≤9時(shí)，設(shè)EQ交AC于點(diǎn)K，則KQ=QC=9-t
∴S=S_△KQC=（9-t）²=（t-9）²
綜上所述：S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形、等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．