Question

6．如圖，正方形ABCD的邊長為1，P為BC上任意一點(diǎn)（含B、C兩點(diǎn)），分別過點(diǎn)B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為E、F、G，以下判斷：
①△ADG≌△BAE；
②BE=AE-PE；
③BE+CF+DG的最小值是$\sqrt{2}$；
④BE+CF+DG的最大值是2．
其中正確的是①③④．（把所有正確的結(jié)論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 ①利用AAS可證得此結(jié)論成立；②令P、C點(diǎn)重合，發(fā)現(xiàn)②結(jié)論不成立；③④設(shè)PB=a，結(jié)合三角形面積公式，三角形全等，勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，用a把BE+CF+DG表示出來，再利用二次函數(shù)在a的取值范圍內(nèi)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠BAE=90°，
∴∠ADG=∠BAE．
在△ADG和△BAE中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠BAE}\\{∠AGD=∠BEA=90°}\\{AD=BA=1}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BAE（AAS）．
故①成立．
②當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，如圖1所示．

此時(shí)，AE=PE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
顯然BE=AE-PE不成立．
故②不成立．
③④放到圖2中研究，圖2如下．

設(shè)PB=a（0≤a≤1），則PC=1-a．
由勾股定理可得AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
△ABP的面積=$\frac{1}{2}$AP•BE=$\frac{1}{2}$AB•PB，
∴BE=$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$．
∵△ADG≌△BAE（①已證），
∴DG=AE．
由勾股定理可得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
∴DG=$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$．
∵∠CPF=∠BPE，∠CFP=∠BEP=90°，
∴△△CFP∽△BEP，
∴$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CP}{BP}$，CF=$\frac{CP}{BP}$•BE=$\frac{1-a}{a}$•$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{1-a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$．
BE+CF+DG=$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$+$\frac{1-a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$．
∵1+a²在0≤a≤1內(nèi)單調(diào)遞增，且最小值為1，最大值為2，
∴BE+CF+DG最小值為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；最大值為$\frac{2}{1}$=2．
故③④成立．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是用a把BE+CF+DG表示出來．本題屬于中檔題型，難度不大，①②及其容易判定，失分點(diǎn)在于③④的判定，如果像本題一樣是填空或者選擇，可以考慮特殊點(diǎn)，即P與B或C重合來斷定，若為大題，則需設(shè)出PB=a，結(jié)合三角形面積公式，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)等眾多知識，用a表示出來BE+CF+DG，再用二次函數(shù)求最值問題解決問題，結(jié)合本題，可以形成一種觀念，若為填空、選擇直接去找特殊點(diǎn)，這樣可以節(jié)省很多驗(yàn)證時(shí)間．