Question

如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點E，連結(jié)OE，已知=．

（1）求證：BE=DE；

（2）如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB，DE=1，求AE的長．

Answer 1

【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AB=CD，推出△ABE≌△CDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

（2）過O作OF⊥AD與F，OG⊥BC于G，連接OA，OC，根據(jù)垂徑定理得到AF=FD，BG=OG，由于AD=BC，于是得到AF=CG，推出Rt△AOF≌Rt△OCG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OF=OG，證得四邊形OFEG是正方形，于是得到OF=EF，設(shè)OF=EF=x，則AF=FD=x+1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

【解答】解：（1）∵=，

∴AB=CD，

在△ABE與△CDE中，，

∴△ABE≌△CDE，

∴BE=DE；

（2）過O作OF⊥AD與F，OG⊥BC于G，連接OA，OC，

根據(jù)垂徑定理得：AF=FD，BG=OG，

∵AD=BC，

∴AF=OG，

在Rt△AOF與Rt△OCG中，，

∴Rt△AOF≌Rt△OCG，

∴OF=OG，

∵AD⊥CB，

∴四邊形OFEG是正方形，

∴OF=EF，

設(shè)OF=EF=x，

則AF=FD=x+1，

∴OF²+AF²=OA²，

即：x²+（x+1）²=5²，

解得：x=3，x=﹣4（舍去），

∴AF=4，

∴AE=7．

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，熟練則全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．