Question

拋物線y=x²在直角坐標(biāo)系中向下平移4個(gè)單位得到拋物線y₁，y₁與x軸的交點(diǎn)為A₁、B₁，與y軸的交點(diǎn)為O₁，A₁、B₁、O₁對(duì)應(yīng)y=x²上的點(diǎn)依次為A、B、O．
（1）寫出y₁的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線Y和y₁及線段AA₁和BB₁圍成的圖形的面積；
（3）若平行于x軸的一條直線y=m與拋物線y交于P、Q兩點(diǎn)，與拋物線y₁交于R、S兩點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)三等分線段RS，求m的值；
（4）若正比例函數(shù)y=kx（k≠0）與拋物線y₁交于M、N兩點(diǎn)，問點(diǎn)O能否平分線段MN，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=x²向下平移4個(gè)單位得拋物線y₁，故y的頂點(diǎn)向下平移4個(gè)單位．故能得到解析式，令y=0，就能求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）連接AB，則拋物線y₁和A₁B₁圍成的圖形的面積等于拋物線y和AB圍成的圖形的面積，故拋物線y₁和y₂及AA₁圖1和BB₁圍成的圖形的面積等于正方形AA₁BB₁的面積．（3）由RP=PQ=QS，可得RS=3PQ．進(jìn)而求得m．（4）看點(diǎn)O能否平分線段MN，兩圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和是不是等于0．

解答：解：（1）拋物線y=x²向下平移4個(gè)單位得拋物線y₁，
故y的頂點(diǎn)向下平移4個(gè)單位，
可得y₁=x²-4，令y=0，求得x=±2，
故坐標(biāo)A（-2，4）、B（2，4）．

（2）連接AB，則拋物線y₁和A₁B₁圍成的圖形的面積等于
拋物線y和AB圍成的圖形的面積，
∴拋物線y₁和y₂及AA₁圖1和BB₁圍成的圖形的面積等于正方形AA₁BB₁的面積S=16．

（3）如圖1，
∵RP=PQ=QS，
∴RS=3PQ，
即2

m+4

=6

4

，解得m=

1

2

．

（4）如圖2，點(diǎn)O不能平分線段MN，理由如下：
由

y=x2-4 y=kx

，得x²-kx-4=0，
∴x₁+x₂=k≠0，
∴x₁≠-x₂，
∴OM≠ON．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，會(huì)求拋物線的解析式，涉及平移等知識(shí)點(diǎn)．此題不難．