Question

【題目】如圖①②,A是半徑為12cm的☉O上的定點,動點P從A出發(fā),以2π(cm/s)的速度沿圓周逆時針運動,當點P回到A時立即停止運動.

(1)如圖①,點B是OA延長線上一點,AB=OA,當點P運動時間為2s時,試證明直線BP是☉O的切線.

(2)如圖②,當∠POA=90°時,求點P的運動時間.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當∠POA=90°時,點P運動的時間為3 s或9 s

【解析】

（1）直線BP與⊙O的位置關(guān)系是相切，根據(jù)已知可證得OP⊥BP，即直線BP與⊙O相切；

（2）當∠POA=90°時，點P運動的路程為⊙O周長的 14或 34，所以分兩種情況進行分析.

（2）如圖，當點P運動的時間為2s時，直線BP與⊙O相切．理由如下：

當點P運動的時間為2s時，點P運動的路程為4πcm，連接OP，PA，

∵⊙O的周長為24πcm，

∴弧AP的長為⊙O周長的，

∴∠POA=60°；

∵OP=OA，

∴△OAP是等邊三角形，

∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；

∵AB=OA，

∴AP=AB，

∵∠OAP=∠APB+∠B，

∴∠APB=∠B=30°，

∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，

∴OP⊥BP，

∴直線BP與⊙O相切；

（2）當∠POA=90°時，點P運動的路程為⊙O周長的或，

設(shè)點P運動的時間為ts；

當點P運動的路程為⊙O周長的時，2πt=2π12，

解得t=3；

當點P運動的路程為⊙O周長的時，2πt=2π12，

解得t=9；

∴當∠POA=90°時，點P運動的時間為3s或9s．