Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，下面四個(gè)結(jié)論：①DA平分∠EDF；②EB=FC；③AD上的點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等；④到AE、AF距離相等的點(diǎn)，到DE、DF的距離也相等，其中正確的結(jié)論有①②③④．（填序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線性質(zhì)和垂直得出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠BED=∠CFD=90°，證Rt△AED≌Rt△AFD，根據(jù)全等得出AE=AF，∠EDA=∠FDA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出AD上的點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等，AD上的點(diǎn)到AE、AF距離相等，即可得出答案．

解答 解：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，∴①正確；
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，∴②正確；
∵在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD上的點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等，∴③正確；
∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD上的點(diǎn)到AE、AF距離相等，
∵∠EDA=∠FDA，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD上的點(diǎn)到DE、DF距離相等，∴④正確；
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．