如圖,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于點(diǎn)C,AC⊥CB交BE于點(diǎn)A,△ABC的外接圓的半徑為r.
(1)若∠E=30°,求證:BC•BD=r•ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的長.
(1)證明:取AB中點(diǎn)O,△ABC是Rt△,AB是斜邊,O是外接圓心,連接CO,
∴BO=CO,∠BCO=∠OBC,
∵BC是∠DBE平分線,
∴∠DBC=∠CBA,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OCDB,(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行),
OC
BD
=
CE
DE
,把比例式化為乘積式得BD•CE=DE•OC,
∵OC=r,
∴BD•CE=DE•r.
∵∠D=90°,∠E=30°,
∴∠DBE=60°,
∴∠CBE=
1
2
∠DBE=30°,
∴∠CBE=∠E,
∴CE=BC,
∴BC•BD=r•ED.

(2)BD=3,DE=4,根據(jù)勾股定理,BE=5,
設(shè)圓的半徑長是r,則OC=OA=r,
∵OCDB,
∴△OCEBDE,
OC
BD
=
OE
BE
=
CE
DE
,即
r
3
=
OE
5
=
CE
4

解得:OE=
5
3
r,CE=
4
3
r.
CH=
OC•CE
OE
=
4
5
r,
∵BC平分∠DBE交DE于點(diǎn)C,則△BDC≌△BHC,
∴BH=BD=3,
則HE=2.
∴CD=CH=
4
5
r.
在直角△CHE中,根據(jù)勾股定理得:CH2+EH2=CE2,
即(
4
5
r)2+22=(
4
3
r)2,解得:r=
15
8
,
則AE=BE-2r=5-
15
4
=
5
4
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,AB是⊙O的直徑,PB與⊙O相切于B點(diǎn),C為⊙O上的點(diǎn),OPAC.試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是⊙O的直徑,弦DE與AC交于點(diǎn)E,且BD=BF.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,AB=4,BC=6,AD=8,點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),分別做勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位,點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位,當(dāng)這兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒.
(1)動(dòng)點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)?此時(shí)t為何值;
(2)當(dāng)O<t<2時(shí),寫出△PQA的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)以PQ為直徑的圓能否與CD相切?若有可能,求出t的值或t的取值范圍;若不可能,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,兩個(gè)等圓⊙O與⊙O′外切,過點(diǎn)O作⊙O′的兩條切線OA、OB,A、B是切點(diǎn),則∠AOB=______度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

兩個(gè)同心圓的半徑分別為3cm和4cm,大圓的弦BC與小圓相切,則BC=______cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,AB為⊙O的直徑,AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D,DE⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)E,BF⊥AB交AD的延長線于點(diǎn)F,
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=3,⊙O的半徑為5,求BF的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,直徑AB左側(cè)的半圓上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)E(不與點(diǎn)A、B重合),連結(jié)EB、ED.
(1)如果∠CBD=∠E,求證:BC是⊙O的切線;
(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△EDB≌△ABD,并給予證明;
(3)若tanE=
3
3
,BC=
4
3
3
,求陰影部分的面積.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)
(參考數(shù)值:π≈3.14,
2
≈1.41,
3
≈1.73)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,PA、PB是⊙O的兩條切線,A、B是切點(diǎn),連接AB,直線PO交AB于M.請(qǐng)你根據(jù)圓的對(duì)稱性,寫出△PAB的三個(gè)正確的結(jié)論.

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同步練習(xí)冊(cè)答案