Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C．延長AB交CD于點E．連接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于點F，交⊙O于點G．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑是6cm，EC=8cm，求GF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證AD是⊙O的切線，只需證明OA⊥AD即可；
（2）連接BG．在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10，從而求得AE=13；然后由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的對應(yīng)邊成比例求得AF=9.6，再利用圓周角定理證得Rt△ABG∽Rt△AEF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得AG=7.2，所以GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4．

解答：（1）證明：連接OC．
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠DAC=∠ACD，∠OCA+∠DAC=90°
∴∠0AC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：連接BG；
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE=

OC2+EC2

=10．
∴AE=OE+OA=16．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．
∴

AF

OC

=

AE

OE

．
即：

AF

6

=

16

10

．
∴AF=9.6．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AGB=90°．
∴∠AGB=∠AFE．
∵∠BAG=∠EAF，
∴Rt△ABG∽Rt△AEF．
∴

AG

AF

=

AB

AE

．
即：

AG

9.6

=

12

16

．
∴AG=7.2．
∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4（cm）．

點評：本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．