Question

在小于100的正整數(shù)n中，能使分?jǐn)?shù)

1

(3n+32)(4n+1)

化為十進(jìn)制有限小數(shù)的n的所有可能值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)無理數(shù)的概念與運(yùn)算,質(zhì)因數(shù)分解

專題：推理填空題

分析：由分?jǐn)?shù)

1

(3n+32)(4n+1)

可化為十進(jìn)制有限小數(shù)可知：（3n+32）（4n+1）分解的質(zhì)因數(shù)中除了2和5以外不含有其他的質(zhì)因數(shù)，因而4n+1可表示為5^k（k為正整數(shù)），然后根據(jù)n的范圍確定k的值，就可解決問題．

解答：解：由題可知：（3n+32）（4n+1）分解的質(zhì)因數(shù)中除了2和5以外不含有其他的質(zhì)因數(shù)．
∵4n+1是奇數(shù)，
∴4n+1可寫成5^k（k為正整數(shù)），即4n+1=5^k（k為正整數(shù)）．
∵1≤n＜100，
∴4≤4n＜400．
∴5≤4n+1＜401，即5≤5^k＜401．
∴1≤k＜4（k為正整數(shù)）．
∴k取1，2，3．
當(dāng)k=1時(shí)，4n+1=5，n=1，此時(shí)3n+32=35=5×7，故舍去；
當(dāng)k=2時(shí)，4n+1=5²，n=6，此時(shí)3n+32=50=2×5×5，符合要求；
當(dāng)k=3時(shí)，4n+1=5³，n=31，此時(shí)3n+32=125=5×5×5，符合要求．
綜上所述：符合要求的n有6和31．
故答案為：6、31．

點(diǎn)評：本題主要考查了質(zhì)因數(shù)分解、最簡分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)的條件、不等式的性質(zhì)等知識，而知道最簡分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)的條件（分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)）是解決本題的關(guān)鍵．