Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+b與坐標(biāo)軸交于C，D兩點(diǎn)，直線AB與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，線段OA，OC的長是方程x²-3x+2=0的兩個根（OA＞OC）．
（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；
（2）直線AB與直線CD交于點(diǎn)E，若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象的一個分支經(jīng)過點(diǎn)E，求k的值；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線CD上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)B，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解一元二次方程x²-3x+2=0即可得出OA、OC的值，再根據(jù)點(diǎn)所在的位置即可得出A、C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式，根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)結(jié)合點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)即可得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，將其代入直線CD的解析式中即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出k值；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-m+1），分別以BE為邊、BE為對角線來考慮．根據(jù)菱形的性質(zhì)找出關(guān)于m的方程，解方程即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)B、E的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）x²-3x+2=（x-1）（x-2）=0，
∴x₁=1，x₂=2，
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（-2，0），C（1，0）．
（2）將C（1，0）代入y=-x+b中，
得：0=-1+b，解得：b=1，
∴直線CD的解析式為y=-x+1．
∵點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，A（-2，0），B的橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-1．
∵點(diǎn)E為直線CD上一點(diǎn)，
∴E（-1，2）．
將點(diǎn)E（-1，2）代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中，
得：2=$\frac{k}{-1}$，解得：k=-2．
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-m+1），
以點(diǎn)B，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形分兩種情況（如圖所示）：
①以線段BE為邊時，∵E（-1，2），A（-2，0），E為線段AB的中點(diǎn)，
∴B（0，4），
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵四邊形BEMN為菱形，
∴EM=BE或BE=BM．
當(dāng)EM=BE時，有EM=$\sqrt{（m+1）^{2}+（-m+1-2）^{2}}$=BE=$\sqrt{5}$，
解得：m₁=$\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$，m₂=$\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，
∴M（$\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）或（$\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$），
∵B（0，4），E（-1，2），
∴N（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，4+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，4-$\frac{\sqrt{10}}{2}$）；
當(dāng)BE=BM時，有BM=$\sqrt{（m-0）^{2}+（-m+1-4）^{2}}$=BE=$\sqrt{5}$，
解得：m₃=-1（舍去），m₄=-2，
∴M（-2，3），
∵B（0，4），E（-1，2），
∴N（-3，1）；
②以線段BE為對角線時，MB=ME，
∴$\sqrt{（m+1）^{2}+（-m+1-2）^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+1-4）^{2}}$，
解得：m₃=-$\frac{7}{2}$，
∴M（-$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∵B（0，4），E（-1，2），
∴N（0-1+$\frac{7}{2}$，4+2-$\frac{9}{2}$），即（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
綜上可得：坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)B，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，4+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）、（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，4-$\frac{\sqrt{10}}{2}$）（-3，1）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了解一元二次方程、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用因式分解法解一元二次方程；（2）求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）分線段BE為邊、為對角線兩種情況來考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，分別以給定的線段為邊和為對角線考慮，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出關(guān)于點(diǎn)M坐標(biāo)的方程是關(guān)鍵．