Question

如圖所示，AB=AC，DE=DC，AD∥BC，求證：∠BAC=∠EDC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點D作DF⊥AB交BA的延長線于F，作DG⊥AC于G，根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠ACB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ACB=∠CAD，兩直線平行，同位角相等可得∠B=∠DAF，從而得到∠CAD=∠DAF，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DF=DG，然后利用“HL”證明Rt△EFD和Rt△CGD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EDF=∠CDG，然后求出∠FDG=∠EDC，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠BAC=∠FDG，從而得證．

解答：證明：如圖，過點D作DF⊥AB交BA的延長線于F，作DG⊥AC于G，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠ACB，∠B=∠DAF，
∴∠CAD=∠DAF，
∴DF=DG（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
在Rt△EFD和Rt△CGD中，

DE=DC DF=DG

，
∴Rt△EFD≌Rt△CGD（HL），
∴∠EDF=∠CDG，
∵∠EDF=∠FDG-∠EDG，
∠CDG=∠EDC-∠EDG，
∴∠FDG=∠EDC，
∵∠FDG+∠FAG=360°-90°×2=180°，
∠BAC+∠FAG=180°，
∴∠BAC=∠FDG，
∴∠BAC=∠EDC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．