Question

如圖，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分線交直線BC于D，過D作DE⊥AB，DF⊥AC分別交直線AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF．
（1）求證：EF⊥AD；
（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AD是∠EAF的平分線，
∴∠EAD=∠DAF．
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠DEA=∠DFA=90°
又AD=AD，
∴△DEA≌△DFA．
∴EA=FA
∵ED=FD，
∴AD是EF的垂直平分線．
即AD⊥EF．

（2）解：∵DE∥AC，
∴∠DEA=∠FAE=90°．
又∠DFA=90°，
∴四邊形EAFD是矩形．
由（1）得EA=FA，
∴四邊形EAFD是正方形．
∵DE=1，
∴AD=．
分析：（1）根據(jù)AD是∠EAF的平分線，那么DE=DF，如果證得EA=FA，那么我們就能得出AD是EF的垂直平分線，那么就證得EF⊥AD了．因此證明EA=FA是問題的關(guān)鍵，那么就要先證得三角形AED和AFD全等．這兩個三角形中已知的條件有∠EAD=∠FAD，一條公共邊，一組直角，因此兩三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．
（2）要求AD的長，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度數(shù)，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的長了．
點評：本題考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點．本題中利用全等三角形得出線段相等是解題的關(guān)鍵．