Question

12、已知正整數(shù)m，n都是質(zhì)數(shù)，并且7m+n，mn+11也是質(zhì)數(shù)，試求（mⁿ）ⁿ+（n^m）^m的值．

Answer 1

分析：先根據(jù)已知條件判斷出mn為偶數(shù)，再由m、n為質(zhì)數(shù)可知m，n中至少有一個(gè)為2，再分m=n=2、m=2、m=2三種情況進(jìn)行討論，求出符合條件的m、n的值，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：∵mn+11為質(zhì)數(shù)，且mn+11＞11，
∴mn+11為奇質(zhì)數(shù)，
故mn為偶數(shù)，又m，n為質(zhì)數(shù)，所以m，n中至少有一個(gè)為2．（5分）
（1）當(dāng)m=n=2時(shí)，mn+11=15不為質(zhì)數(shù)，矛盾．（10分）
（2）當(dāng)m=2，n≠2時(shí)，由n+14，2n+11均為質(zhì)數(shù)可知n=3，
否則，當(dāng)n=3k+1（k為正整數(shù)）時(shí)，n+14=3k+15=3（k+5）為合數(shù)，矛盾；
當(dāng)n=3k+2時(shí)，2n+11=6k+15=3（2k+5）為合數(shù)，矛盾；
故n=3，此時(shí)，mn+11=17，7m+n=17均為質(zhì)數(shù)，符合題意．（15分）
（3）當(dāng)n=2時(shí)，mn+11=2m+11，7m+n=7m+2，它們均為質(zhì)數(shù)，此時(shí)必有m=3，
否則令m=3k+1，mn+11=6k+12=6（k+2）為合數(shù)，矛盾；
令m=3k+2，7m+n=21k+9=3（7k+3）為合數(shù)，矛盾；
故m=3．（20分）
所以（m，n）=（2，3），（3，2）．
所以（mⁿ）ⁿ+（n^m）^m=593．（25分）
故答案為：593．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，解答此題的關(guān)鍵是熟知2既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)．