Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6

2

，M是弧AB的中點(diǎn)，OC⊥OD，△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)與△AMB的兩邊分別交于E、F（點(diǎn)E、F與點(diǎn)A、B、M均不重合），與⊙O分別交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求證：OE=OF；
（2）連接PM、QM，試探究：在△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，∠PMQ是否為定值？若是，求出∠PMQ的大��；若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）連接EF，試探究：在△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，△EFM的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠AMB=90°，由M是弧AB的中點(diǎn)得弧MB=弧MA，于是可判斷△AMB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=

2

2

AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，則可根據(jù)“SAS”判斷△OBE≌△OMF，所以O(shè)E=OF；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠BMQ=

1

2

∠BOQ，∠AMP=

1

2

∠AOP，則∠BMQ+∠AMP=

1

2

（∠BOQ+∠AOP）=45°，所以∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=135°；
（3）易得△OEF為等腰直角三角形，則EF=

2

OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周長=EF+MF+ME=EF+MB=

2

OE+6，根據(jù)垂線段最短得當(dāng)OE⊥BM時(shí)，OE最小，此時(shí)OE=

1

2

BM=3，所以△EFM的周長的最小值為9．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AMB=90°，
∵M(jìn)是弧AB的中點(diǎn)，
∴弧MB=弧MA，
∴MA=MB，
∴△AMB為等腰直角三角形，
∴∠ABM=∠BAM=45°，∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=

2

2

AB=

2

2

×6

2

=6，
∴∠MOE+∠BOE=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠MOE+∠MOF=90°，
∴∠BOE=∠MOF，
在△OBE和△OMF中，

OB=OM ∠OBE=∠OMF ∠BOE=∠MOF

，
∴△OBE≌△OMF（SAS），
∴OE=OF；

（2）解：∠PMQ為定值．
∵∠BMQ=

1

2

∠BOQ，∠AMP=

1

2

∠AOP，
∴∠BMQ+∠AMP=

1

2

（∠BOQ+∠AOP），
∵∠COD=90°，
∴∠BOQ+∠AOP=90°，
∴∠BMQ+∠AMP=

1

2

×90°=45°，
∴∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=45°+90°=135°；
（3）解：△EFM的周長有最小值．
∵OE=OF，
∴△OEF為等腰直角三角形，
∴EF=

2

OE，
∵△OBE≌△OMF，
∴BE=MF，
∴△EFM的周長=EF+MF+ME
=EF+BE+ME
=EF+MB
=

2

OE+6，
當(dāng)OE⊥BM時(shí)，OE最小，此時(shí)OE=

1

2

BM=

1

2

×6=3，
∴△EFM的周長的最小值為3+6=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；運(yùn)用全等三角形的判定解決線段相等的問題．