Question

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=|x₂-x₁|²+|y₂-y₁|²，所以A，B兩點(diǎn)間的距離為．AB=$\sqrt{|{x}_{1}-{x}_{2}{|}^{2}+|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}}$．
我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為OA²=|x-0|²+|y-0|²，當(dāng)⊙O的半徑為r時(shí)，⊙O的方程可寫為：x²+y²=r²．
（1）問題拓展：
如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為（x-a）²+（y-b）²=r²．
（2）綜合應(yīng)用：
如圖3，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使tan∠POA=$\frac{3}{4}$，作PD⊥OA，垂足為D，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)B，連結(jié)AB．
①證明AB是⊙P的切線；
②是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫
出以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙Q的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）問題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，則有AP=r，根據(jù)閱讀材料中的兩點(diǎn)之間距離公式即可求出⊙P的方程；
（2）綜合應(yīng)用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，從而可證到△POB≌△PAB，則有∠POB=∠PAB．由⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切線；
②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易證∠OBP=∠POA，則有tan∠OBP=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{3}{4}$．由P點(diǎn)坐標(biāo)可求出OP、OB．過點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，易證△BHQ∽△BOP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出QH、BH，進(jìn)而求出OH，就可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后運(yùn)用問題拓展中的結(jié)論就可解決問題．

解答 解：（1）問題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，
∵P（a，b），半徑為r，
∴AP²=（x-a）²+（y-b）²=r²．
故答案為（x-a）²+（y-b）²=r²；

（2）綜合應(yīng)用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．
在△POB和△PAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PO=PA}\\{∠OPB=∠APB}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△PAB（SAS），
∴∠POB=∠PAB．
∵⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，
∴∠POB=90°，
∴∠PAB=90°，
∴AB是⊙P的切線；

②存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q．
當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時(shí)，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=BQ=AQ．
此時(shí)點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等．
∵∠POB=90°，OA⊥PB，
∴∠OBP=90°-∠DOB=∠POA，
∴tan∠OBP=$\frac{OP}{OB}$=tan∠POA=$\frac{3}{4}$．
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∴OP=6，OB=$\frac{4}{3}$OP=8．
過點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，如圖3，
則有∠QHB=∠POB=90°，
∴QH∥PO，
∴△BHQ∽△BOP，
∴$\frac{OH}{OP}$=$\frac{BH}{OB}$=$\frac{BQ}{BP}$=$\frac{1}{2}$，
∴QH=$\frac{1}{2}$OP=3，BH=$\frac{1}{2}$OB=4，
∴OH=8-4=4，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3），
∴OQ=$\sqrt{O{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=5，
∴以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙Q的方程：
（x-4）²+（y-3）²=25．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的綜合、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、切線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角函數(shù)的定義等知識(shí)，正確應(yīng)用相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．