Question

已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°，若點P為優(yōu)弧

AB

上一動點（點P不與A，B重合），設(shè)∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A′，若BA′與⊙O相切于B點，求BP的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：作OC⊥AB于C，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，∠AOB=120°得到∠OAB=∠OBA=30°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBA′=90°，則∠ABA′=120°，接著利用折疊的性質(zhì)得到BP⊥AA′，BA=BA′，則∠A′AB=30°，所以可判斷點A′在AO的延長線上，在Rt△ODB中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出BD=

3

，然后根據(jù)垂徑定理得到BP=2BD=2

3

．

解答：解：作OC⊥AB于C，如圖，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵BA′與⊙O相切于B點，
∴∠OBA′=90°，
∴∠ABA′=∠ABO+∠OBA′=120°，
∵△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A′，
∴BP⊥AA′，BA=BA′，
∴∠A′AB=30°，
∴點A′在AO的延長線上，
在Rt△ODB中，∵∠BOD=60°，OB=2，
∴OD=

1

2

OB=1，
∴BD=

3

OD=

3

，
而OD⊥PB，
∴BD=PD，
∴BP=2BD=2

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了折疊的性質(zhì)和垂徑定理．