Question

如圖，點P是雙曲線y=

k1

x

（k₁＜0，x＜0）上一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交雙曲線y=

k2

x

（0＜k₂＜|k₁|）于E、F兩點．
（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=

 

（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）圖2中，設(shè)P點坐標(biāo)為（-4，3）．
①判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②記S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)可知：四邊形OAPB面積為K₁，△OAE與△OBF面積之和為K₂，可求四邊形PEOF的面積；
（2）①根據(jù)題意，易寫點A、B、E、F坐標(biāo)，可求線段PA、PE、PB、PF的長，發(fā)現(xiàn)PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依據(jù)相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，從而得出EF與AB的位置關(guān)系．
②如果過E作EM⊥y軸于點M，過F作FN⊥x軸于點N，兩線交于點Q．由S_△EFQ=S_△PEF，可得出S₂的表達(dá)式，然后根據(jù)自變量的取值范圍得出結(jié)果．

解答：解：（1）四邊形PEOF的面積S₁=四邊形PAOB的面積+三角形OAE的面積+三角形OBF的面積=|k₁|+k₂=k₂-k₁； （3分）

（2）①EF與AB的位置關(guān)系為平行，即EF∥AB．（4分）
證明：如圖，由題意可得：
A（-4，0），B（0，3），E(-4，-

k2

4

)，F(

k2

3

，3)，
∴PA=3，PE=3+

k2

4

，PB=4，PF=4+

k2

3

∴

PA

PE

=

3

3+ k2 4

=

12

12+k2

，

PB

PF

=

4

4+ k2 3

=

12

12+k2

，
∴

PA

PE

=

PB

PF

，（6分）
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；（7分）

②S₂沒有最小值，理由如下：
過E作EM⊥y軸于點M，過F作FN⊥x軸于點N，兩線交于點Q，
由上知M（0，-

k2

4

），N（

k2

3

，0），Q（

k2

3

，-

k2

4

）（8分）
而S_△EFQ=S_△PEF，
∴S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
=

1

2

k2+

1

2

k2+

k2

3

•

k2

4

=k2+

1

12

k

2 2

=

1

12

(k2+6)2-3，（10分）
當(dāng)k₂＞-6時，S₂的值隨k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12，（11分）
∵k₂=12時S₂=24，
∴0＜S₂＜24，S₂沒有最小值．（12分）
故（1）的答案為：k₂-k₁

點評：此題難度較大，主要考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及相似三角形判定．同學(xué)們要熟練掌握相似三角形的判定方法．