Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B(12，10)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為A．作y軸的垂線，垂足為C．點(diǎn)D從O出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)E從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F從B出發(fā)，沿BA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，三點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△ODE關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形是△O′DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

（1）用含t的代數(shù)式分別表示點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）若△ODE與以點(diǎn)A，E，F為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；

（3）當(dāng)t＝2時(shí)，求O′點(diǎn)在坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）E(3t，0)，F(12，10﹣2t)；（2）t＝；（3）O'(，)

【解析】

（1）直接根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠DOE＝∠EAF＝90°，再分兩種情況，用相似三角形得出比例式，建立方程求解，最后判斷即可得出結(jié)論；

（3）先根據(jù)勾股定理求出DE，再利用三角形的面積求出OG，進(jìn)而求出OO'，再判斷出△OHO'∽△EOD，得出比例式建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）∵BA⊥x軸，CB⊥y軸，B（12，10），

∴AB＝10，

由運(yùn)動(dòng)知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4），

∴AF＝10﹣2t，

∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；

（2）由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t，

∴AE＝12﹣3t，

∵BA⊥x軸，

∴∠OAB＝90°＝∠AOC，

∵△ODE與以點(diǎn)A，E，F為頂點(diǎn)的三角形相似，

∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE，

①當(dāng)△DOE∽△EAF時(shí)，，

∴，

∴t＝，

②當(dāng)△DOE∽△FAE時(shí)，，

∴，

∴t＝6（舍），

即：當(dāng)△ODE與以點(diǎn)A，E，F為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，t＝秒；

（3）如圖，

當(dāng)t＝2時(shí)，OD＝2，OE＝6，

在Rt△DOE中，根據(jù)勾股定理得，DE＝2，

連接OO'交DE于G，

∴OO'＝2OG，OO⊥DE，

∴S△DOE＝ODOE＝DEOG，

∴OG＝＝＝，

∴OO'＝2OG＝，

∵∠AOC＝90°，

∴∠HOO'+∠AOO'＝90°，

∵OO'⊥DE，

∴∠OED+∠AOO'＝90°，

∴∠HOO'＝∠OED，

過(guò)點(diǎn)O'作O'H⊥y軸于H，

∴∠OHO'＝90°＝∠DOE，

∴△OHO'∽△EOD，

∴，

∴，

∴OH＝，O'H＝，

∴O'（，）．