Question

3．如圖，AB是⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD垂直過(guò)C點(diǎn)的切線于點(diǎn)D，連接BC，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB于點(diǎn)F．
（1）求證：CD=CF；
（2）若∠B=60°，CD=2$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑OB．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，由切線的性質(zhì)得OC⊥CD，加上CD⊥AD，則OC∥AD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可得到∠DAC=∠OAC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到結(jié)論；
（2）由（1）知，CF=CD=2$\sqrt{3}$，在Rt△BCF中利用正弦定義可計(jì)算出CB=4，再證明△OCB是等邊三角形，于是得到OB=BC=4．

解答 （1）證明：連接OC，如圖，
∵CD是⊙O切線，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∵CF⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CF；
（2）解：由（1）知，CF=CD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BCF中，∵sinB=$\frac{CF}{BC}$，
∴CB=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
∵OC=OB，∠B=60°，
∴△OCB是等邊三角形，
∴OB=BC=4，
∴⊙O的半徑為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．