Question

如圖，O₁和O₂內(nèi)切于點(diǎn)P．C是O₁上任一點(diǎn)(與點(diǎn)P不重合)．

實(shí)驗(yàn)操作：將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)O₁，另一條直角邊所在直線交O₂于點(diǎn)A、B，直線PA、PB分別交O₁于點(diǎn)E、F，連結(jié)CE(下圖是實(shí)驗(yàn)操作備用圖)．

探究：(1)你發(fā)現(xiàn)、有什么關(guān)系？用你學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)證明你的發(fā)現(xiàn)；

(2)你發(fā)現(xiàn)線段CE、PE、BF有怎樣的比例關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)．

(附加題：如圖，若將上述問題的O₁和O₂由內(nèi)切變?yōu)橥馇�，其他條件不變，請(qǐng)你探究線段CE、PE、BF有怎樣的比例關(guān)系，并證明．)

　

Answer 1

答案：
解析：

探究(1)結(jié)論：＝ 　　證法一　　如圖，過P點(diǎn)作兩圓外公切線MN，連結(jié)EF． 　　∵M(jìn)N為兩圓的外公切線， 　　∴∠NPB＝∠PEF＝∠A， 　　∴EF∥AB． 　　又∵O1C⊥AB，∴O1C⊥EF． 　　又∵O1C為O1的半徑，∴＝． 　　證法二　　如圖，過點(diǎn)P作兩圓的外公切線MN，連結(jié)CP． 　　∵O1C⊥AB，O1C為O1的半徑，∴AB切O1于C，∴∠BCP＝∠CEP． 　　∵M(jìn)N為兩圓外公切線，∴∠MPA＝∠B＝∠PCE． 　　∴∠CPE＝∠CPB， 　　∴＝． 　　證法三　　如圖連結(jié)PC并延長(zhǎng)交O2于G，連結(jié)O2G，O2P． 　　∵P為切點(diǎn)，則O1在O2P上． 　　∵O1P＝O1C，∴∠O1PC＝∠O1CP． 　　又∵O2P＝O2G，∴∠O2PG＝∠O2GP，∴∠O1CP＝∠O2GP， 　　∴O1C∥O2G． 　　∴O1C⊥AB，∴O2G⊥AB， 　　∴＝， 　　∴∠APG＝∠BPG， 　　∴＝． 　　探究(2)結(jié)論：CE2＝BF·PE． 　　證法一　　如圖連結(jié)CF．∵AB切O1于C，∴∠BCF＝∠CPB， 　　∵∠CPB＝∠CPE， 　　∴∠BCF＝∠CPE． 　　∵O1是四邊形ECFP的外接圓， 　　∴∠CFB＝∠CEP． 　　∴△BCF∽△CPE，∴． 　　又∵＝，∴CE＝CF， 　　∴，∴CE2＝BF·PE． 　　證法二　　如圖，連結(jié)CF．∵AB切O1于C，∴∠PCB＝∠PEC，又∵∠EPC＝∠CPB， 　　△PEC∽△PCB，∴，∴， 　　∵AB切O1于C，∴∠BCF＝∠CPB，又∵∠B＝∠B， 　　∴△CFB∽△PCB， 　　∴，∴， 　　∴，∵，∴CE＝CF， 　　∴CE2＝PE·BF． 　　附加題：圖正確，結(jié)論：CE2＝PE·BF． 　　證法一　　如圖過點(diǎn)P作兩圓的內(nèi)公切線MN，連結(jié)CF，EF，PC． 　　∵O1C⊥BC，O1C為O1的半徑， 　　∴BC切O1于C， 　　∵M(jìn)N是兩圓的內(nèi)公切線， 　　∴∠MPE＝∠EFP，∠NPA＝∠B， 　　又∵∠MPE＝∠NPA，∴∠EFP＝∠B， 　　∴EF∥BC，∴O1C⊥EF，∴， 　　∴CE＝CF． 　　∵∠B＝∠EFP，∠EFP＝∠ECP，∴∠B＝∠ECP． 　　又∵∠PEC＝∠PFC，∴△EPC∽△FCB， 　　∴，∴，∴CE2＝PE·BF． 　　證法二　　如圖，過點(diǎn)P作兩圓的內(nèi)公切線MN，連結(jié)CF，EF，CP． 　　∵M(jìn)N是兩圓的內(nèi)公切線，∴∠MPE＝∠EFB，∠NPA＝∠B， 　　∵∠MPE＝∠NPA，∴∠EFB＝∠B． 　　∵O1C⊥CB，O1C是O1的半徑， 　　∴BC切O1于C，∴∠PCB＝∠PFC． 　　∵∠FEC＝∠FPC＝∠PCB＋∠B，∠EFC＝∠PFC＋∠EFB， 　　∴∠FEC＝∠EFC， 　　∴CF＝CE． 　　余下同證法一． 　　評(píng)析：在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，積累知識(shí)，本題中與的關(guān)系，線段CE、PE、BF之間的關(guān)系好像在平時(shí)似曾相識(shí)，而輔助線的添置規(guī)律，遇到兩圓相切的問題常作兩圓的公切線或連心線也應(yīng)掌握．

提示：

思路與技巧：解決本題有兩個(gè)關(guān)鍵，一是要理解實(shí)驗(yàn)操作的方法，如圖1所示，二是要理解切線的一個(gè)性質(zhì)．如圖2，若PC是O的切線(P為切點(diǎn))PB為弦，則∠BPC＝∠A，推導(dǎo)這個(gè)結(jié)論很簡(jiǎn)單，只要作直徑PD，并連結(jié)BD，由∠CPD＝∠PBD＝，得∠CPB＝∠D，又∠A＝∠D，所以∠CPB＝∠A．