Question

如圖，把兩個(gè)全等的腰長為8 的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD，N是斜邊AC上一動點(diǎn)。
（Ⅰ）若E、F為AC的三等分點(diǎn)，求證：∠ADE= ∠CBF；      
（Ⅱ）若M是DC上一點(diǎn)，且DM=2，求DN+MN的最小值；（注：計(jì)算時(shí)可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，則AB2=AC2+BC2）
（Ⅲ）若點(diǎn)P在射線BC上，且NB=NP，求證：NP⊥ND。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵E、F為AC的三等分點(diǎn)，       ∴AE=AC，CF=AC ∴AE=CF．       ∵AB=BC，∠ABC=90°，       ∵∠BAC= ∠BCA=45°．       同理∠DAC=45 °．       ∴∠BCA= ∠DAC．       ∵△ASC≌△CDA，      ∴CB=AD．       ∴在△ADE和△CBF中，        AE=CF，∠DAE= ∠BCF，AD=CB，       ∴△ADE≌△CBF（SAS）       ∴∠ADE= ∠CBF；   （Ⅱ）∵D、B關(guān)于AC對稱，所以當(dāng)B、N、M在一直線上時(shí)，DN+MN最小       ∵AB=8,DM=2， ∴CM=6        在Rt △MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8， 根據(jù)題中定理可求出BM=10  ∴DN+MN最小值為10 （Ⅲ）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上（P與B、C不重合）時(shí)，     ∵NB=NP ∴∠NBP= ∠NPB     ∵D、B關(guān)于AC對稱，     ∴∠NBP= ∠NDC       ∴∠NPB+ ∠NPC= ∠NDC+ ∠NPC=180 °．       ∴∠DNP=360 °- （∠BCD+ ∠NDC+ ∠NPC）=90°       ∴NP⊥ND      ②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)N恰好在AC的中點(diǎn)處，       ∵∠NDC= ∠NCD=45° ∴∠DNC=90°       ∴NP⊥ND ③當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，       ∵NB=NP ∴∠NBP= ∠NPB       ∴D、B關(guān)于AC對稱， ∠NBP= ∠NDC       ∴∠NPC= ∠NDC ∵∠DHN= ∠CHP，       ∴∠DNP= ∠DCP=90° ∴NP⊥ND。