Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO在x軸正半軸上，邊CO在y軸的正半軸上，且AB=2，∠AOB=30°，將矩形ABOC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到矩形EFOD，且點A落在y軸上的E點，點B，C的對應(yīng)點分別是點F，D．
（1）求F，E，D的三點坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點F，E，D，求此拋物線的解析式；
（3）在x上方的拋物線上求點P的坐標(biāo)，使得三角形POB的面積等于矩形ABOC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)解直角三角形求出AO、BO的長度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得OE、OD、OF的長度，根據(jù)OE的長度可得點E的坐標(biāo)，根據(jù)OD的長度，過點D作DM⊥x軸于點M，利用解直角三角形求出OM、DM的長度，然后得到點D的坐標(biāo)，再根據(jù)OF的長度，過點F作FN⊥x軸于點N，利用解直角三角形求出ON、FN的長度，從而得到點F的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點F、E、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)OB是公共底邊且面積相等，可得點P的縱坐標(biāo)是4，然后代入二次函數(shù)解析求解即可．
解答：解：（1）如圖1，過點D作DM⊥x軸，過點F作FN⊥x軸，
∵AB=2，∠AOB=30°，
∴AO=2AB=4，OB=AB•cot30°=2，
由旋轉(zhuǎn)不變性可得，EO=AO=4，OD=AB=2，OF=OB，
所以E的坐標(biāo)為（0，4），
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=90°-∠AOB=90°-30°=60°，
∴∠DOE=∠AOC=60°，
∴∠DOM=90°-∠DOE=90°-60°=30°，
在Rt△DOM中，DM=OD=×2=1，OM=OD•cos∠DOM=2×cos30°=，
所以點D的坐標(biāo)為（-，1），
由圖可知，旋轉(zhuǎn)角為60°，所以∠FON=60°，
所以，ON=OF•cos60°=2×=，
FN=OF•sin60°=2×=3，
所以F的坐標(biāo)為（，3）；

（2）由題意得：，
解得，
所以，拋物線的解析式為y=-x²+x+4；

（3）如圖2，因為△POB與矩形ABOC有公共的底邊OB，
且面積相等，所以y_p=2y_c=4，
由-x²+x+4=4，
整理得，2x²-x=0，
解得x₁=0或x₂=，
所以P的坐標(biāo)是（0，4）或（，4）．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要有矩形的性質(zhì)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，要注意旋轉(zhuǎn)變換前后線段的不變以及角度的不變性．