Question

（2007•龍巖）如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（M不與A，B重合），MN∥BC交AC于點(diǎn)N，△AMN關(guān)于MN的對(duì)稱圖形是△PMN．設(shè)AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面積（不必寫出過程）；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在邊BC上；
（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，記△PMN與梯形MBCN重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；并求x為何值時(shí)，重疊部分的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)镸N∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得MN的值與MN邊上的高的值，即可求得面積；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可求得相等的線段與角，可得點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，即當(dāng)x=AB=2時(shí)，點(diǎn)P恰好落在邊BC上；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，易見y=x²．（8分）
②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，如圖3，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)
由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由題意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得．
解答：解：（1）S_△AMN=x²（3）；

（2）如圖2，由軸對(duì)稱性質(zhì)知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
∴點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，即當(dāng)x=AB=2時(shí)，點(diǎn)P恰好落在邊BC上．（7分）

（3）（i）以下分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，易見y=x²（8分）
②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，如圖3，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由題意知△PEF∽△ABC，
∴，
∴
∴
∴y=
（ii）∵當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x²
∴易知y_最大=（11分）
又∵當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=x²+6x-6=（x-）²+2．
∴當(dāng)時(shí)（符合2＜x＜4），y_最大=2，（12分）
綜上所述，當(dāng)時(shí)，重疊部分的面積最大，其值為2．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊問題，要注意對(duì)應(yīng)的線段對(duì)應(yīng)的角相等，此題還考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．