Question

【題目】如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的

⊙ O與BC相切于點(diǎn)E．

（1）求證：CD是⊙ O的切線；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20﹣10．

【解析】試題分析：（1）首先連接OE，并過點(diǎn)O作OF⊥CD，由OA長(zhǎng)為半徑的 O與BC相切于點(diǎn)E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC為正方形ABCD的對(duì)角線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可證得OF=OE=OA，即可判定CD是 O的切線；

（2）由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，可求得其對(duì)角線的長(zhǎng)，然后由設(shè)OA=r，可得OE=EC=r，由勾股定理求得OC=r，則可得方程r+r=10，繼而求得答案．

試題解析：（1）證明：連接OE，并過點(diǎn)O作OF⊥ CD．

∵ BC切⊙ O于點(diǎn)E，

∴OE⊥ BC，OE=OA，

又∵AC為正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠ ACB=∠ ACD，

∴OF=OE=OA，

即：CD是⊙ O的切線．

（2）解：∵ 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，

∴A B=BC=10，∠ B=90°，∠ ACB=45°，

∴AC==10，

∵OE⊥ BC，

∴OE=EC，

設(shè)OA=r，則OE=EC=r，

∴OC=，

∵OA+OC=AC，

∴r+r=10，

解得：r=20﹣10．

∴⊙O的半徑為：20﹣10．