Question

已知關于x的一元二次方程x²+（4m+1）x+2m-1=0
（1）求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）若方程兩根為x₁，x₂，且滿足（x₁+1）（x₂+1）=2，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵△=（4m+1）²-4（2m-1）=16m²+5＞0，
∴原方程必有兩不等實數(shù)根．
（2）∵x₁+x₂=-（4m+1），x₁•x₂=2m-1，
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₁+x₂+1=2，
即：2m-1-（4m+1）+1=2，
解得：m=．
分析：（1）要證明方程總有兩個不相等的實數(shù)根，那么只要證明△＞0即可．
（2）首先利用根與系數(shù)的關系可以得到x₁+x₂，x₁•x₂，接著利用根與系數(shù)的關系得到關于m的方程，解方程即可解決問題．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．要注意無理方程，分式方程有意義的條件，并會以此來檢驗根的合理性．
總結(jié)一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．