Question

（1）如圖1，點(diǎn)M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)你在圖1中過(guò)點(diǎn)M作一條直線(xiàn)，使它將矩形ABCD分成相等的兩部分．（只需保留作圖痕跡）
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是我市城東新區(qū)開(kāi)發(fā)用地示意圖，其中DC∥OB，OB=8，BC=6，CD=6．新區(qū)管委會(huì)（其占地面積不計(jì)）設(shè)在點(diǎn)P（5，3）處，為了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)P修一條筆直的道路（路的寬度不計(jì)），并且使這條路所在的直線(xiàn)L將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分，你認(rèn)為直線(xiàn)L是否存在？若存在，求出直線(xiàn)L的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖②連接AC、BD交于O則O為正方形對(duì)稱(chēng)中心．
作直線(xiàn)MO，直線(xiàn)MO即為所求．

（2）如圖③存在直線(xiàn)l，
過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)作DA⊥OB于點(diǎn)A，
則點(diǎn)P（5，3）為矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，
∴過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)只要平分△DOA的面積即可，
易知，在OD邊上必存在點(diǎn)H使得PH將△DOA面積平分．
從而，直線(xiàn)PH平分梯形OBCD的面積，即直線(xiàn)PH為所求直線(xiàn)l
設(shè)直線(xiàn)PH的表達(dá)式為y=kx+b且點(diǎn)P（5，3），
∴3=5k+b即b=3-5k，
∴y=kx+3-5k，
∵直線(xiàn)OD的表達(dá)式為y=3x，
∴，
解之．
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x=，y=）
把x=2代入直線(xiàn)PH的解析式y(tǒng)=kx+3-5k，得y=3-k，
∴PH與線(xiàn)段AD的交點(diǎn)F（2，3-k），
∴0＜3-k＜6，
∴-3＜k＜3．
∴S_△DHF=[6-（3-k）•（2-）=××2×6，
∴解得：k=-3+2．（k=-3-2舍去）
∴b=3-5k=18-10，
∴直線(xiàn)l的表達(dá)式為：y=（-3+2）x+18-10．
分析：（1）連接AC，BD中心點(diǎn)位O，過(guò)O點(diǎn)的直線(xiàn)分矩形為相等的兩部分．
（2）假如存在，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)只要作DA⊥OB與點(diǎn)A，表示出H點(diǎn)的坐標(biāo)，把x=2代入直線(xiàn)PH的解析式y(tǒng)=kx+3-5k，得y=3-k，根據(jù)PH將△DOA面積平分，求出k和b即可得出．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和三角形面積求法等知識(shí)，用k表示出F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．