Question

6．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，M是AD延長線上一點(diǎn)，且MD=BE，連接CM．
（1）求證：∠BCE=∠DCM；
（2）若點(diǎn)N在邊AD上，且∠NCE=45°，連接NE，求證：NE=BE+DN；
（3）在（2）的條件下，若DN=2，MD=3，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD=BC，∠ADC=∠B=90°，
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BCE=∠DCM；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BCE=∠DCM，CE=CM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NE=MN，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)正方形的邊長為x根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，
∵CD=BC，∠ADC=∠B=90°，
∴∠MDC=∠B=90°，
在△BCE與△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDM}\\{BE=DM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDM，
∴∠BCE=∠DCM；

（2）∵∠NCE=45°，
∴∠BCE+∠DCN=45°，
∵△BCE≌△CDM，
∴∠BCE=∠DCM，CE=CM，
在△CEN與△CMN中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CE}\\{∠ECN=∠MCN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△CEN≌△CMN，
∴NE=MN，
∵M(jìn)N=MD+DN=BE+DN，
∴NE=BE+DN；

（3）設(shè)正方形的邊長為x，
∵NE=BE+DN=MD+DN=3+2=5，AN=AD-DN=x-2，AE=x-3，
∵NE²=AN²+AE²，
∴5²=（x-2）²+（x-3）²，
解得：x=6，或x=-1（不合題意，舍去），
∴正方形的邊長是6．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．