Question

（2012•吳中區(qū)二模）如圖，一塊直角三角形木板ABC，其中∠C=90°，AC=3m，BC=4m，現(xiàn)在要把它們加工成一個(gè)面積最大的矩形，甲、乙兩位木工師傅的加工方法分別如圖1、圖2所示，請(qǐng)用學(xué)過的知識(shí)說明哪位師傅的加工方法符合要求．

Answer 1

分析：根據(jù)相似三角形求矩形的長(zhǎng)與寬的函數(shù)關(guān)系式，然后表示出有關(guān)面積的函數(shù)關(guān)系式并求出其最大值，找到最大的方案即可．

解答：解：如圖1，設(shè)DE=x，EF=y，矩形的面積記為S，
由題意，DE∥CB，
∴

DE

CB

=

AD

AC

即：

x

4

=

3-y

3

解得y=3-

3

4

x其中0＜x＜4
∴S=xy=x（3-

3

4

x）=-

3

4

x²+3x=-

3

4

（x-2）²+3
∴有最大面積是3．

（2）如圖，作CE⊥AB于點(diǎn)E，交NM與點(diǎn)D
∵∠C=90°，AC=3m，BC=4m，
∴AB=5 CE=2.4
設(shè)MQ=x MN=y，則DE=x，CD=2.4-x
∵M(jìn)N∥AB
∴

CD

CE

=

MN

AB

即：

2.4-x

2.4

=

y

5

整理得：y=-

25

12

x+5
∴S=xy=x（-

25

12

x+5）=-

25

12

（x-

6

5

）²+3
故兩個(gè)師傅均符合要求．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；解此題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答．