【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點(diǎn),AF,DE相交于點(diǎn)G,當(dāng)E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點(diǎn)時,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.
試探究下列問題:
(1)如圖1,若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn),F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn),且CE=DF,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”),不需要證明)
(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,連接AE和EF,若點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)
解:上述結(jié)論①,②仍然成立,
理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠DAF=∠CDE,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;
(2)
上述結(jié)論①,②仍然成立,
理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠CDE=∠DAF,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;
(3)
四邊形MNPQ是正方形.
理由為:如圖,設(shè)MQ,DE分別交AF于點(diǎn)G,O,PQ交DE于點(diǎn)H,
∵點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),
∴MQ=PN= DE,PQ=MN= AF,MQ∥DE,PQ∥AF,
∴四邊形OHQG是平行四邊形,
∵AF=DE,
∴MQ=PQ=PN=MN,
∴四邊形MNPQ是菱形,
∵AF⊥DE,
∴∠AOD=90°,
∴∠HQG=∠AOD=90°,
∴四邊形MNPQ是正方形.
【解析】(1)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;(2)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;(3)首先設(shè)MQ,DE分別交AF于點(diǎn)G,O,PQ交DE于點(diǎn)H,由點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),即可得MQ=PN= DE,PQ=MN= AF,MQ∥DE,PQ∥AF,然后由AF=DE,可證得四邊形MNPQ是菱形,又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形.
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【題目】適合下列條件的△ABC中,直角三角形的個數(shù)為( ) ①a= ,b= ,c= ;
②a=6,∠A=45°;
③∠A=32°,∠B=58°;
④a=7,b=24,c=25.
A.2個
B.3個
C.4個
D.5個
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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,一個三角形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo),橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)增加3個單位,則所得的圖形與原圖形相比( 。
A. 形狀不變,大小擴(kuò)大了3倍 B. 形狀不變,向右平移了3個單位
C. 形狀不變,向上平移了3個單位 D. 三角形被縱向拉伸為原來的3倍
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【題目】在菱形ABCD中,P是AB上一動點(diǎn)(但不與A、B兩點(diǎn)重合),DP的延長線交CB延長線于點(diǎn)E.
(1)△APD與△BPE是否總相似,為什么?
(2)當(dāng)P為AB中點(diǎn)時,求證:點(diǎn)B是EC中點(diǎn).
(3)當(dāng)PD⊥AB時,設(shè)AD=10,sinA= ,求BE的長.
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【題目】如圖,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,那么∠DAC的度數(shù)為( )
A. 90° B. 80° C. 70° D. 60°
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F,E為垂足,連接DE,則∠CDF等于( )
A.60°
B.65°
C.70°
D.80°
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【題目】下列運(yùn)算中,錯誤的是( )
A. 3a5-a5=2a5 B. -a3·(-a)5=a8
C. a3·(-a)4=a7 D. 2m·3n=6m+n
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