Question

若從圓錐形紙帽的底面圓周上點A處用一條紅線繞紙帽的側(cè)面一圈，那么這樣的紅線至少要

 

cm．（紅線的接頭長度忽略不計）

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題,圓錐的計算

專題：

分析：將圓錐側(cè)面展開，易得圓錐的底面周長，也就是側(cè)面展開圖的弧長，利用弧長公式可得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)，求得側(cè)面展開圖中AA′的距離即為最短的紅線長．

解答：解：將圓錐側(cè)面展開，如圖．
∵圓錐的底面半徑為20÷2=10cm，
∴圓錐的底面周長為2π×10=20πcm．
設圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為n，
則

nπ×30

180

=20π，
解得n=120°．
作OC⊥AA′于點C，則∠AOC=60°，
在直角△AOC中，∵∠OCA=90°，∠AOC=60°，AO=30cm，
∴AC=AO×sin∠AOC=15

3

cm，
∴AA′=2AC=30

3

cm．
故答案為30

3

．

點評：本題考查了平面展開-最短路徑問題及圓錐的計算；突破點是求得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)；用到的知識點為：立體幾何中的最短距離問題要轉(zhuǎn)換為平面幾何中求兩點的距離問題；圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長．