Question

二次函數(shù)y1=x2+x+n-

3

4

的圖象與x軸只有一個交點；另一個二次函數(shù)y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的圖象與x軸交于兩點，這兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，且m是小于5的整數(shù)．
求：（1）n的值；
（2）二次函數(shù)y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的圖象與x軸交點的坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）利用拋物線圖象與x軸交點個數(shù)與△符號的關(guān)系得出b²-4ac=0求出即可；
（2）根據(jù)（1）中所求以及b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-4m+6）＞0，得出m的取值范圍，進而利用圖象與x軸交點的橫坐標都是整數(shù)得出m的值，進而得出答案．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y1=x2+x+n-

3

4

的圖象與x軸只有一個交點，
∴b²-4ac=1-4（n-

3

4

）=0，
解得：n=1；

（2）將n=1代入二次函數(shù)解析式y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6得：
y₂=x²-2（m-1）x+m²-4m+6，
∵二次函數(shù)y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的圖象與x軸交于兩點，
∴b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-4m+6）＞0，
解得：m＞

5

2

，
∵m是小于5的整數(shù)，
∴

5

2

＜m＜5，
∴m=3或4，
∵二次函數(shù)y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的圖象與x軸交點的橫坐標都是整數(shù)，
∴當m=3時，
y₂=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
與x軸交點坐標為；（1，0），（3，0），
當m=4時，
y₂=x²-6x+6=（x-3）²-3，
與x軸交點坐標為；（3+

3

，0），（3-

3

，0）不合題意舍去，
故二次函數(shù)y2=nx2-2(m-1)x+m2-4m+6的圖象與x軸交點的坐標為：（1，0），（3，0）．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸交點問題與判別式△的關(guān)系和一元二次方程的解法等知識，熟練掌握△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點是解題關(guān)鍵．