Question

（2013•張家港市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），⊙O與x軸的負(fù)半軸交于B（-2，0）．點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA的中點(diǎn)為Q．當(dāng)點(diǎn)Q也落在⊙O上時(shí)，cos∠OQB的值等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：先構(gòu)造直角三角形QBC，根據(jù)三角形中位線定理分別求出QB、QC的長(zhǎng)，再根據(jù)余弦的定義即可求出結(jié)果．

解答：解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到恰好點(diǎn)Q落在⊙O上，連接QB，OP，BC，再連接QO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，則∠CBQ=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）
∵B、Q分別是OA、AP的中點(diǎn)，
∴BQ∥OP，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），⊙O與x軸的負(fù)半軸交于B（-2，0）．
∴OP=OB=BA=

1

2

OA=2，
∴QB=1
在Rt△CQB中，∠CBQ=90°
∴cos∠OQB=

QB

QC

=

1

4

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角形中位線定理，余弦的定義和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形．