Question

已知如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，AG∥DB，交CB的延長線于G，連接GF，若AD⊥BD．下列結(jié)論：
①DE∥BF；②四邊形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S_△BFG=

1

4

S_{四邊形ABCD}
其中正確的是

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)題意可證明四邊形DEBF為平行四邊形，繼而可判斷出此項正確；
②根據(jù)①的結(jié)論，再結(jié)合AD⊥BD，E為邊AB的中點(diǎn)得出DE=BE=AE可判斷出四邊形BEDF是菱形．
③要使FG⊥AB，則BF=BC=BG，而因?yàn)榈貌怀鯞F=BC，即不等得出FG⊥AB．
④S_△BFG=

1

2

S_△FCG，S_△FCG=

1

2

S_{平行四邊形ABCD}，可得出結(jié)論．

解答：解：①∵在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
∴DE∥BF故①正確．
②由①知四邊形DEBF為平行四邊形，
∵AD⊥BD，E為邊AB的中點(diǎn)，
∴DE=BE=AE，
∴四邊形BEDF是菱形故②正確．
③∵AG∥DB  AD∥BG AD⊥BD
∴AGBD為矩形，
∴AD=BG=BC，
要使FG⊥AB，則BF=BC=BG，
不能證明BF=BC，即FG⊥AB不恒成立，
故③不正確．
④由③知BC=BG
∴S_△BFG=

1

2

S_△FCG，
∵F為CD中點(diǎn)
∴S_△FCG=

1

2

S_{平行四邊形ABCD}
∴S_△BFG=

1

4

S平行四邊形ABCD
故④正確．
綜上可得：①②④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及判定，還有全等三角形的知識，綜合性較強(qiáng)，解答此類題目時要注意由結(jié)論推條件，把結(jié)論當(dāng)做已知條件求解．