Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx+4的圖象與兩坐標軸分別交于A、B、C三點，經(jīng)過點E（0，-2）的直線l：y=kx-2（k≠0）與x軸、拋物線的對稱軸x=-1交于點F．
（1）填空：OC=

 

；OF=

 

；
（2）連結(jié)AE．若△OAE∽△OEF，請求出拋物線C₁的解析式；
（3）在（2）的條件下，把拋物線C₁向右平移1個單位后，向下平移

9

2

個單位得到新的拋物線C₂．再將直線l繞著點E進行旋轉(zhuǎn)，當直線l與拋物線C₂相交于不同的兩個交點M、N時，過點P（0，2）、點M與點N分別作直線PM、PN．猜想：直線PM、PN、CE之間的位置關(guān)系（除相交于點P外）．并請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用圖象上點的坐標性質(zhì)得出CO，F(xiàn)O的長；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出AO的長，進而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)題意分別表示出M，N點的坐標，進而得出tan∠MPG=tan∠NPH，進而得出答案．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+4的圖象與兩坐標軸分別交于A、B、C三點，
∴x=0時，y=4，
∴CO=4，
∵y=kx-2（k≠0）與x軸、拋物線的對稱軸x=-1交于點F，
∴FO=1，
故答案為：4；1；

（2）∵E（0，-2），y=kx-2（k≠0）與拋物線的對稱軸x=-1交于點F，
∴OE=2，OF=1．
∵△OAE∽△OEF，

OA

OE

=

OE

OF

，
∴OA=4
即A（-4，0），B（2，0），
代入y=ax²+bx+4可得：

16a-4b+4=0 4a+2b+4=0

，
解得：

a=- 1 2 b=-1

，
故拋物線C₁的解析式為：y=-

1

2

x2-x+4；

（3）直線PM、PN關(guān)于直線CE成軸對稱．
或直線PM、與直線CE、直線PN與直線CE的夾角相等（相類似的也行），
過點N作NH⊥y軸于點H，過點M作MG⊥y軸于點G，
 y=-

1

2

x2-x+4=-

1

2

(x+1)2+

9

2

故拋物線C₂的解析式為y=-

1

2

x2，
由點M、N在直線l和拋物線C₂的圖象上得：kx-2=-

1

2

x2
解得x1=-k-

k2+4

，x2=-k+

k2+4

，
當x1=-k-

k2+4

時，y1=-k2-2+

k2+4

，
當x2=-k+

k2+4

時，y2=-k2-2-

k2+4

，
故M(-k-

k2+4

，-k2-2+

k2+4

)，N(-k+

k2+4

，-k2-2-

k2+4

)
則tan∠MPG=

MG

PG

=

k+ k2+4

2-(-k2-2+ k2+4 )

=

1

k2+4

tan∠NPH=

NH

PH

=

-k+ k2+4

2-(-k2-2- k2+4 )

=

1

k2+4

，
故tan∠MPG=tan∠NPH，
即∠MPG=∠NPH，
綜上所述：直線PM、PN關(guān)于直線CE成軸對稱．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，分別表示出M，N點坐標是解題關(guān)鍵．