Question

如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，M為AC上任意一點（不與A，C重合），過M作直線MN交BC于點N，過A，B作AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為D、E．

（1）∠DAN，∠EBN之間的數(shù)量關系是

 

；
（2）如圖②，當M在AC的延長線上時，其他條件不變，探索∠DAM，∠EBN之間的數(shù)量關系并證明你的結論；
（3）如圖③，若∠ACB=α時，N在BC的延長線上，其他條件不變時，∠DAM∠EBN之間的數(shù)量關系是否改變？若改變，請寫出∠DAM，∠EBN與α之間滿足的數(shù)量關系（此題不用證明）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）由AD⊥MN，BE⊥MN可判斷AD∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DAM+∠CAB+∠EBN+∠CBA=180°，再利用三角形內(nèi)角和定理得到∠CAB+∠CBA=90°，于是有∠DAM+∠EBN=90°；
（2）由BE⊥MN得到∠BEN=90°，而∠ACB=90°，∠BNE=∠CNM，于是根據(jù)三角形內(nèi)角和易得∠AMD=∠EBN；
（3）由AD⊥MN，BE⊥MN得到AD∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DAB=∠ABE，利用角度的差得到∠CAB-∠DAM=∠EBN-∠CBA，整理得∠DAM+∠EBN=∠CAB+∠CBA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CAB+∠CBA=180°-α，所以∠DAM+∠EBN=180°-α．

解答：解：（1）如圖①，∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴AD∥BE，
∴∠DAB+∠EBA=180°，
即∠DAM+∠CAB+∠EBN+∠CBA=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAM+∠EBN=90°．
故答案為∠DAM+∠EBN=90°；
（2）∠DAM與∠EBN相等．理由如下：
如圖2，∵BE⊥MN，
∴∠BEN=90°，
∵∠ACB=90°，∠BNE=∠CNM，
∴∠AMD=∠EBN；
（3）改變．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴AD∥BE，
∴∠DAB=∠ABE，
∴∠CAB-∠DAM=∠EBN-∠CBA，
即∠DAM+∠EBN=∠CAB+∠CBA，
∵∠ACB=α，
∴∠CAB+∠CBA=180°-α，
∴∠DAM+∠EBN=180°-α．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)．